77: Giả sử \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right) = \frac{{\ln \left( {x + 3} \right)}}{{{x^2}}}\) sao cho \(F\left( { – 2} \right) + F\left( 1 \right) = 0\). Giá trị của \(F\left( { – 1} \right) + F\left( 2 \right)\) bằng

Câu hỏi:

77: Giả sử \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right) = \frac{{\ln \left( {x + 3} \right)}}{{{x^2}}}\) sao cho \(F\left( { – 2} \right) + F\left( 1 \right) = 0\). Giá trị của \(F\left( { – 1} \right) + F\left( 2 \right)\) bằng

A. \(\frac{{10}}{3}\ln 2 – \frac{5}{6}\ln 5\).

B. \(0\).

C. \(\frac{7}{3}\ln 2\).

D. \(\frac{2}{3}\ln 2 + \frac{3}{6}\ln 5\).

Lời giải

Cách 1: Ta có hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên các khoảng \(\left( { – 3;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Tính \(\int {\frac{{\ln \left( {x + 3} \right)}}{{{x^2}}}{\rm{d}}x} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 3} \right)\\{\rm{d}}v = \frac{{{\rm{d}}x}}{{{x^2}}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = \frac{1}{{x + 3}}{\rm{d}}x\\v =  – \frac{1}{x} – \frac{1}{3} =  – \frac{{x + 3}}{{3x}}\end{array} \right.\) 

Suy ra: \(F\left( x \right) = \int {\frac{{\ln \left( {x + 3} \right)}}{{{x^2}}}{\rm{d}}x}  =  – \frac{{x + 3}}{{3x}}\ln \left( {x + 3} \right) + \int {\frac{1}{{3x}}{\rm{d}}x} \)\( =  – \frac{{x + 3}}{{3x}}\ln \left( {x + 3} \right) + \frac{1}{3}\ln \left| x \right| + C\).

∙Xét trên khoảng \(\left( { – 3;0} \right)\), ta có: \(F\left( { – 2} \right) = \frac{1}{3}\ln 2 + {C_1}\); \(F\left( { – 1} \right) = \frac{2}{3}\ln 2 + {C_1}\)

∙Xét trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), ta có:

\(F\left( 1 \right) =  – \frac{4}{3}\ln 4 + {C_2} =  – \frac{8}{3}\ln 2 + {C_2}\); \(F\left( 2 \right) =  – \frac{5}{6}\ln 5 + \frac{1}{3}\ln 2 + {C_2}\)

Suy ra: \(F\left( { – 2} \right) + F\left( 1 \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{3}\ln 2 + {C_1}} \right) + \left( { – \frac{8}{3}\ln 2 + {C_2}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow {C_1} + {C_2} = \frac{7}{3}\ln 2\).

Do đó: \(F\left( { – 1} \right) + F\left( 2 \right) = \left( {\frac{2}{3}\ln 2 + {C_1}} \right) + \left( { – \frac{5}{6}\ln 5 + \frac{1}{3}\ln 2 + {C_2}} \right)\)

\( = \frac{2}{3}\ln 2 – \frac{5}{6}\ln 5 + \frac{1}{3}\ln 2 + \frac{7}{3}\ln 2 = \frac{{10}}{3}\ln 2 – \frac{5}{6}\ln 5\).

Cách 2: 

∙Xét trên khoảng \(\left( { – 3;0} \right)\), ta có:

\(F\left( { – 1} \right) – F\left( { – 2} \right) = \int\limits_{ – 2}^{ – 1} {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{ – 2}^{ – 1} {\frac{{\ln \left( {x + 3} \right)}}{{{x^2}}}dx}  \approx 0,231 \to A\) \(\left( 1 \right)\)

∙Xét trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), ta có:

\(F\left( 2 \right) – F\left( 1 \right) = \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_1^2 {\frac{{\ln \left( {x + 3} \right)}}{{{x^2}}}dx}  \approx 0,738 \to B\) \(\left( 2 \right)\)

∙Lấy \(\left( 1 \right)\) cộng \(\left( 2 \right)\) theo vế ta được:

\(F\left( { – 1} \right) + F\left( 2 \right) – F\left( { – 2} \right) – F\left( 1 \right) = A + B \Leftrightarrow F\left( { – 1} \right) + F\left( 2 \right) = A + B \approx 0,969\).

====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Tích phân