7. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi \(S\)là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m \in {\rm{[}} – 2021;2012]\) để hàm số \(y = f\left( {f\left( x \right) – 2m + 1} \right)\) có đúng 4 điểm cực trị. Số phần tử của tập \(S\) là:

DẠNG TOÁN 46: CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
  Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
7. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi \(S\)là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m \in {\rm{[}} – 2021;2012]\) để hàm số \(y = f\left( {f\left( x \right) – 2m + 1} \right)\) có đúng 4 điểm cực trị. Số phần tử của tập \(S\) là:

A. \(4029\). B. \(4038\). C. \(4030\). D. \(4028\).

Lời giải

Chọn A

Ta đặt \(g\left( x \right) = f\left( {f\left( x \right) – 2m + 1} \right) \Rightarrow g’\left( x \right) = f’\left( x \right).f’\left( {f\left( x \right) – 2m + 1} \right)\).

Xét phương trình đạo hàm: \(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  – 1 \to them\,1\,diem\,cuc\,tri\\x = 2 \to them\,1\,diem\,cuc\,tri\end{array} \right.\\f’\left( {f\left( x \right) – 2m + 1} \right) = 0\end{array} \right.\)

Xét phương trình:\(f’\left( {f\left( x \right) – 2m + 1} \right) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) – 2m + 1 =  – 1\\f\left( x \right) – 2m + 1 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 2m – 2\\f\left( x \right) – 3 = 2m – 2\end{array} \right.\)

Xét tương giao của đường thẳng \(y = 2m – 2\) và hai đồ thị hai hàm số \(y = f\left( x \right);\,y = f\left( x \right) – 3\)

Để hàm số \(y = g\left( x \right) = f\left( {f\left( x \right) – 2m + 1} \right)\). Có 4 điểm cực trị thì đường thẳng \(y = 2m – 2\) cắt đồ thị hai hàm số trên tại hai điểm bội lẻ( không kể điểm tiếp xúc vì được coi như điểm bội chẵn).

Nhìn vào đồ thị ta thấy điều kiện là: \(\left[ \begin{array}{l}2m – 2 \ge 5\\2m – 2 \le 6\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}4 \le m \le 2012\\ – 2021 \le m \le  – 2\end{array} \right.\) suy ra có \(4029\) giá trị \(m\)nguyên thỏa mãn bài toán.