50. Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm \(f'(x) = (x – 7)\left( {{x^2} – 9} \right),\forall x \in \mathbb{R}.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(g(x) = f\left( {\left| {{x^3} + 5x} \right| + m} \right)\) có ít nhất \(3\) điểm cực trị.

Câu hỏi:
50. Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm \(f'(x) = (x – 7)\left( {{x^2} – 9} \right),\forall x \in \mathbb{R}.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(g(x) = f\left( {\left| {{x^3} + 5x} \right| + m} \right)\) có ít nhất \(3\) điểm cực trị.

A. \(6\).

B. \(7\).

C. \(5\).

D. \(4\).

Lời giải

Ta có \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow (x – 7)\left( {{x^2} – 9} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 7\\x = – 3\\x = 3\end{array} \right.\).

\(g\prime (x) = \left( {\left| {{x^3} + 5x} \right| + m} \right)\prime f\prime \left( {\left| {{x^3} + 5x} \right| + m} \right) = 0\)

\(g\prime (x) = \frac{{\left( {3{x^2} + 5} \right)\left( {{x^3} + 5x} \right)}}{{\left| {{x^3} + 5x} \right|}}f\prime \left( {\left| {{x^3} + 5x} \right| + m} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {{x^3} + 5x} \right| + m = – 3\\\left| {{x^3} + 5x} \right| + m = 3\\\left| {{x^3} + 5x} \right| + m = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {{x^3} + 5x} \right| = – m – 3\\\left| {{x^3} + 5x} \right| = – m + 3\\\left| {{x^3} + 5x} \right| = – m + 7\end{array} \right.\)

Xét hàm số \(h(x) = {x^3} + 5x\)\( \Rightarrow h\prime (x) = 3{x^2} + 5 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\), \(h(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

Bảng biến thiên

=======