Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
38. Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^5} + b{x^4} + c{x^3} + d{x^2} + ex + f\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) và hàm số \(f’\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Gọi \(g\left( x \right) = f\left( x \right) – \frac{1}{3}{x^3} – \frac{1}{2}{x^2} – 2x – m\) . Hàm số \(y = \left| {g\left( x \right)} \right|\) có tối đa bao nhiêu điểm cực trị.
A. \(5\).
B. \(6\).
C. \(9\).
D. \(8\)
Lời giải
Nhận xét:
Từ đồ thị \(f’\left( x \right) = 5a{x^4} + 4b{x^3} + 3c{x^2} + 2dx + e\) suy ra \(a > 0\).
Ta có \(g’\left( x \right) = f’\left( x \right) – {x^2} – x – 2\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g’\left( x \right) = + \infty \).
Ta có \(g’\left( x \right) = f’\left( x \right) – {x^2} – x – 2\).
Cho \(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f’\left( x \right) = {x^2} + x + 2\) (1) .
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của hai đồ thị \(y = f’\left( x \right)\) và đồ thị hs
\(y = {x^2} + x + 2\).
\(g’\left( x \right) = f’\left( x \right) – {x^2} – x – 2\) là đa thức bậc 4 với hệ số lớn nhất \(a > 0\). .
Dựa đồ thị ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g’\left( x \right) = c < 0\) (với \(c\) là hằng số) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g’\left( x \right) = + \infty \). Vậy phương trình \(g’\left( x \right) = 0\) có ít nhất 1 nghiệm \({x_0} > 1\).
Dựa vào đồ thị \(g’\left( x \right) = 0\) có 3 nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}x = – 2\\x = – 1\\x = 1\end{array} \right.\) .
Mà \(g’\left( x \right) = f’\left( x \right) – {x^2} – x – 2 = 0\) là phương trình bậc 4 có tối đa 4 nghiệm.
Kết luận: \(g’\left( x \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \) \(\left[ \begin{array}{l}x = – 2\\x = – 1\\x = 1\\x = {x_0} > 1\end{array} \right.\) .
Cũng dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) – \frac{1}{3}{x^3} – \frac{1}{2}{x^2} – 2x – m\) có 4 cực trị.
Phương trình \(g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) – \frac{1}{3}{x^3} – \frac{1}{2}{x^2} – 2x – m = 0\) có tối đa 5 nghiệm phân biệt khác với các nghiệm \(g’\left( x \right) = 0\).
Vậy hàm số \(y = \left| {g\left( x \right)} \right|\) có tối đa 9 điểm cực trị.
Trả lời