37. Cho \(f\left( x \right)\) là hàm đa thức bậc năm thỏa \(f\left( 0 \right) = 0\). Hàm số \(f’\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau

DẠNG TOÁN 46: CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
  Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
37. Cho \(f\left( x \right)\) là hàm đa thức bậc năm thỏa \(f\left( 0 \right) = 0\). Hàm số \(f’\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau

Hàm số \(g\left( x \right) = \left| {f\left( {{x^3}} \right) – 3x} \right|\) có bao nhiêu cực trị

A. \(5\).

B. \(3\).

C. \(2\).

D. \(4\)

Lời giải

Xét hàm số \(h\left( x \right) = f\left( {{x^3}} \right) – 3x \Rightarrow h’\left( x \right) = 3{x^2}f’\left( {{x^3}} \right) – 3\) 

Ta có \(h’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2}f’\left( {{x^3}} \right) – 3 = 0\) 

Nhận xét \(x = 0\) không là nghiệm của phương trình \(h’\left( x \right) = 0\) nên

\(3{x^2}f’\left( {{x^3}} \right) – 3 = 0 \Leftrightarrow f’\left( {{x^3}} \right) = \frac{1}{{{x^2}}}\left( 1 \right)\) 

Đặt \(t = {x^3}\), \(\left( 1 \right)\) trở thành \(f’\left( t \right) = \frac{1}{{\sqrt[3]{{{t^2}}}}}\left( 2 \right)\) 

Xét hàm số \(k\left( t \right) = \frac{1}{{\sqrt[3]{{{t^2}}}}} \Rightarrow k’\left( t \right) =  – \frac{2}{3}.\frac{1}{{\sqrt[3]{{{t^5}}}}}\) 

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = {a^3}\\t = {b^3}\end{array} \right.\left( {a < 0 < b} \right)\) 

Vậy \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = a\\x = b\end{array} \right.\left( {a < 0 < b} \right)\) 

Bảng biến thiên

Vậy bảng biến thiên của \(g\left( x \right)\) là

Vậy số cực trị của \(g\left( x \right) = \left| {h\left( x \right)} \right|\) là 5