35. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) là một đa thức bậc bốn thỏa mãn \(f\left( 0 \right) = 0.\) Hàm số \(f’\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

DẠNG TOÁN 46: CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
  Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
35. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) là một đa thức bậc bốn thỏa mãn \(f\left( 0 \right) = 0.\) Hàm số \(f’\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số \(g\left( x \right) = \left| {f\left( {{x^2}} \right) – 2x} \right|\) có bao nhiêu cực trị?

A. \(1.\)

B. \(3.\)

C. \(4.\)

D. \(5.\)

Lời giải

Từ bảng biến thiên ta có \(f”\left( x \right) = a\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)\)\( \Rightarrow f’\left( x \right) = a\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{5{x^2}}}{2} + 6x} \right) + b\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}f’\left( { – 3} \right) =  – 8\\f’\left( { – 2} \right) =  – \frac{{25}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – \frac{{9{\rm{a}}}}{2} + b =  – 8\\ – \frac{{14{\rm{a}}}}{3} + b =  – \frac{{25}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\end{array} \right.\)

Từ đó ta được \(f’\left( 0 \right) = 1 > 0.\)

Đặt \(h\left( x \right) = f\left( {{x^2}} \right) – 2x\); ta có \(h’\left( x \right) = 2xf’\left( {{x^2}} \right) – 2\).

Khi đó \(h’\left( x \right) = 0 \Rightarrow f’\left( {{x^2}} \right) = \frac{1}{x}\).

■ Khi \(x < 0 \Rightarrow \frac{1}{x} < 0\): nên \(f’\left( {{x^2}} \right) = \frac{1}{x}\) vô nghiệm.

■ Khi \(x > 0\): hàm số \(y = \frac{1}{x}\) nghịch biến; hàm số \(y = f’\left( {{x^2}} \right)\) đồng biến nên có đúng 1 nghiệm \(x = a > 0\).

Bảng biến thiên của hàm số \(h\left( x \right)\)

Dựa vào bảng biến thiên thì phương trình \(h\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm khác \(a.\) từ đó \(g\left( x \right) = \left| {h\left( x \right)} \right|\) có 3 cực trị.