31. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) là một hàm đa thức bậc ba có \(f\left( 0 \right) = 0\) và bảng xét dấu \(f’\left( x \right)\) như sau:

DẠNG TOÁN 46: CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
  Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
31. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) là một hàm đa thức bậc ba có \(f\left( 0 \right) = 0\) và bảng xét dấu \(f’\left( x \right)\) như sau:

Hàm số \(h\left( x \right) = \left| {f\left( {{x^2} – \left| x \right|} \right)} \right|\) có số điểm cực trị là

A. \(7\).

B. \(11\).

C. \(9\).

D. \(5\)

Lời giải

● Cách 1:+

Từ bảng xét dấu \(f’\left( x \right)\) ta có \(f’\left( x \right) = a\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)\,,\,a > 0\).

Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} – \left| x \right|} \right)\)

Ta có \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} – \sqrt {{x^2}} } \right)\)

Nên \(g’\left( x \right) = \left( {2x – \frac{x}{{\sqrt {{x^2}} }}} \right)f’\left( {{x^2} – \sqrt {{x^2}} } \right)\)

\( = \left( {2x – \frac{x}{{\sqrt {{x^2}} }}} \right)a\left( {{x^2} – \sqrt {{x^2}}  – 1} \right)\left( {{x^2} – \sqrt {{x^2}}  + 1} \right)\)

Suy ra \(g’\left( x \right) = 0\)\(\left[ \begin{array}{l}2x – \frac{x}{{\sqrt {{x^2}} }} = 0\\{x^2} – \sqrt {{x^2}}  – 1 = 0\\{x^2} – \sqrt {{x^2}}  + 1 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  \pm \frac{1}{2}\\x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\\x = \frac{{ – 1 – \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\) và \(g’\left( x \right)\) không xác định tại \(x = 0\).

Bảng biến thiên:

Ta có \(g\left( {\frac{{ – 1 – \sqrt 5 }}{2}} \right) = f\left( {{{\left( {\frac{{ – 1 – \sqrt 5 }}{2}} \right)}^2} – \left| {\frac{{ – 1 – \sqrt 5 }}{2}} \right|} \right) = f\left( 1 \right)\)

\(g\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right) = f\left( {{{\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)}^2} – \left| {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right|} \right) = f\left( 1 \right)\)

Và \(g\left( 0 \right) = f\left( {{{\left( 0 \right)}^2} – \left| 0 \right|} \right) = f\left( 0 \right)\)

Từ bảng bảng xét dấu \(f’\left( x \right)\) ta suy ra \(f\left( 0 \right) > f\left( 1 \right)\).

Theo giả thiết \(f\left( 0 \right) = 0\) nên \(f\left( 1 \right) < 0\).

Hay \(g\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) = 0\) và \(g\left( {\frac{{ – 1 – \sqrt 5 }}{2}} \right) = g\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right) = f\left( 1 \right) < 0\).

Từ bảng biến thiên của hàm số \(y = g\left( x \right)\) ta suy ra bảng biến thiên của hàm số \(y = h\left( x \right) = \left| {g\left( x \right)} \right|\) như sau:

Nên hàm số \(y = h\left( x \right) = \left| {g\left( x \right)} \right| = \left| {f\left( {{x^2} – \left| x \right|} \right)} \right|\) có 9 điểm cực trị.

● Cách 2:

Ta có \(g’\left( x \right) = x\left( {2 – \frac{1}{{\left| x \right|}}} \right).f’\left( {{x^2} – \left| x \right|} \right)\).

Suy ra \(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 – \frac{1}{{\left| x \right|}} = 0\\{x^2} – \left| x \right| = 1\\{x^2} – \left| x \right| =  – 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  \pm \frac{1}{2}\\x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\\x = \frac{{ – 1 – \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\) và \(g’\left( x \right)\) không xác định tại \(x = 0\).

Bảng biến thiên:

Ta có \(g\left( {\frac{{ – 1 – \sqrt 5 }}{2}} \right) = f\left( {{{\left( {\frac{{ – 1 – \sqrt 5 }}{2}} \right)}^2} – \left| {\frac{{ – 1 – \sqrt 5 }}{2}} \right|} \right) = f\left( 1 \right)\)

\(g\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right) = f\left( {{{\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)}^2} – \left| {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right|} \right) = f\left( 1 \right)\)

Và \(g\left( 0 \right) = f\left( {{{\left( 0 \right)}^2} – \left| 0 \right|} \right) = f\left( 0 \right)\)

Từ bảng bảng xét dấu \(f’\left( x \right)\) ta suy ra \(f\left( 0 \right) > f\left( 1 \right)\).

Theo giả thiết \(f\left( 0 \right) = 0\) nên \(f\left( 1 \right) < 0\).

Hay \(g\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) = 0\) và \(g\left( {\frac{{ – 1 – \sqrt 5 }}{2}} \right) = g\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right) = f\left( 1 \right) < 0\).

Từ bảng biến thiên của hàm số \(y = g\left( x \right)\) ta suy ra bảng biến thiên của hàm số \(y = h\left( x \right) = \left| {g\left( x \right)} \right|\) như sau:

Nên hàm số \(y = h\left( x \right) = \left| {g\left( x \right)} \right| = \left| {f\left( {{x^2} – \left| x \right|} \right)} \right|\) có 9 điểm cực trị.

Hoặc ta có thể giải bằng cách:

Ta có \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} – \left| x \right|} \right)\) là hàm số chẵn nên chỉ cần xét hàm số \(k\left( x \right) = f\left( {{x^2} – x} \right)\) với \(x > 0\).

Từ số cực trị của hàm số \(k\left( x \right) = f\left( {{x^2} – x} \right)\), suy ra số cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} – \left| x \right|} \right)\).

Từ số cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} – \left| x \right|} \right)\), suy ra số cực trị của hàm số \(h\left( x \right) = \left| {f\left( {{x^2} – \left| x \right|} \right)} \right|\).