30. Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số bậc bốn thỏa mãn \(f\left( 0 \right) = 0\). Hàm số \(f’\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

DẠNG TOÁN 46: CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
  Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
30. Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số bậc bốn thỏa mãn \(f\left( 0 \right) = 0\). Hàm số \(f’\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số \(g\left( x \right) = \left| {f\left( {{x^2}} \right) – {x^2} – 2x} \right|\) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. \(3\).

B. \(4\).

C. \(5\).

D. \(1\)

Lời giải

Xét \(h\left( x \right) = f\left( {{x^2}} \right) – {x^2} – 2x\), là hàm số bậc tám có tập xác định \(\mathbb{R}\).

Đạo hàm \(h’\left( x \right) = 2xf’\left( {{x^2}} \right) – 2x – 2\).

\(h’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f’\left( {{x^2}} \right) = 1 + \frac{1}{x}\).\(f’\left( t \right) = 1 + \frac{1}{{\sqrt t }}\left( * \right)\), \(t > 0\).

Từ đồ thị ta có \(\left( * \right) \Leftrightarrow t = {t_0} > 0\). Suy ra \(h’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \)\({x^2} = {t_0} \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt {{t_0}} \).

Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } h’\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \left[ {2xf’\left( {{x^2}} \right) – 2x – 2} \right] =  – \infty \).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } h’\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {2xf’\left( {{x^2}} \right) – 2x – 2} \right] =  + \infty \)

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(y = h\left( x \right)\):

Có \(h\left( { – \sqrt {{t_0}} } \right) > h\left( 0 \right) = 0 > h\left( {\sqrt {{t_0}} } \right)\), suy ra bảng biến thiên của hàm số \(g\left( x \right) = \left| {h\left( x \right)} \right|\) có dạng

Vậy hàm số \(g\left( x \right)\) có 3 điểm cực trị.