Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
3. Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị hàm \(y = f’\left( x \right)\) như hình vẽ bên dưới. Xét hàm số \(y = g\left( x \right) = f\left( {\alpha {x^2}} \right) – x\) với \(\alpha > 0\). Gọi \(m\) và \(n\) lần lượt là số điểm cực trị tối đa, số điểm cực trị tối thiểu của hàm số \(y = g\left( x \right)\). Tính \(m + n\).
A. \(10\).
B. \(6\).
C. \(4\).
D. \(8\)
Lời giải
\(g’\left( x \right) = 2\alpha xf’\left( {\alpha {x^2}} \right) – 1\).
Với \(x = 0\) ta có \(g’\left( 0 \right) = – 1 \ne 0\).
Với \(x \ne 0\), \(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f’\left( {\alpha {x^2}} \right) = \frac{1}{{2\alpha x}}\). (1)
+) Xét hàm số \(y = h\left( x \right) = f’\left( {\alpha {x^2}} \right)\) với \(\alpha > 0\). Đặt \(u\left( x \right) = \alpha {x^2}\).
Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f’\left( x \right)\), gọi hai điểm cực trị hàm số là \(x = a,\,x = b\) với \(b > a > 0\).
Bảng biến thiên
+) Đồ thị hàm số \(y = k\left( x \right) = \frac{1}{{2\alpha x}}\) với \(\alpha > 0\) có dạng
Dựa vào bảng biến thiên của hàm \(h\left( x \right) = f’\left( {\alpha {x^2}} \right)\) và dạng đồ thị của hàm \(y = \frac{1}{{2\alpha x}}\) ta được:
Đồ thị hàm số \(y = k\left( x \right)\) cắt đồ thị hàm số \(y = h\left( x \right)\) tối đa \(7\) điểm và tối thiểu là \(1\) điểm.
Hình minh họa đồ thị hàm số \(y = k\left( x \right)\) cắt đồ thị hàm số \(y = h\left( x \right)\) tại \(7\) điểm:
Hình minh họa đồ thị hàm số \(y = k\left( x \right)\) cắt đồ thị hàm số \(y = h\left( x \right)\) tại \(1\) điểm:
Suy ra phương trình (1) có tối đa \(7\) và có tối thiểu \(1\) nghiệm đơn phân biệt.
Vậy hàm số \(y = g\left( x \right)\) có tối đa \(7\) cực trị và tối thiểu \(1\) cực trị.
Suy ra \(m = 7,\,n = 1\) và \(m + n = 8\).
Để lại phản hồi