2 Cho \(x\,;\,y\) là các số nguyên thỏa mãn \(\left( {{x^2} + 2x – 80} \right)\left( {{2^x} – y} \right) < 0\). Hỏi có bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi \(y\) tồn tại và có không quá \(5\) giá trị nguyên \(x\).

DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

 

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

2 Cho \(x\,;\,y\) là các số nguyên thỏa mãn \(\left( {{x^2} + 2x – 80} \right)\left( {{2^x} – y} \right) < 0\). Hỏi có bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi \(y\) tồn tại và có không quá \(5\) giá trị nguyên \(x\).

A. \(123\). 

B. \(125\). 

C. \(128\). 

D. \(124\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Trường hợp 1: \({x^2} + 2x – 80 < 0\)\( \Leftrightarrow  – 10 < x < 8\). Khi đó 

\(\left( {{x^2} + 2x – 80} \right)\left( {{2^x} – y} \right) < 0\)\( \Leftrightarrow {2^x} – y > 0 \Leftrightarrow x > {\log _2}y\).

Để tồn tại và không quá 5 giá trị \(x\) nguyên thì \(2 \le {\log _2}y < 7\)\( \Leftrightarrow {2^2} \le y < {2^7}\). Hay \(4 \le y < 128\). 

Vì \(y\) nguyên nên có \(127 – 4 + 1 = 124\) số.

Trường hợp 2: \({x^2} + 2x – 80 > 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x <  – 10\\x > 8\end{array} \right.\) thì

\(\left( {{x^2} + 2x – 80} \right)\left( {{2^x} – y} \right) < 0\)\( \Leftrightarrow {2^x} – y < 0\)\( \Leftrightarrow x < {\log _2}y\).

Do vậy mỗi \(y\) nguyên dương luôn tồn tại nhiều hơn 5 giá trị nguyên của \(x\). Suy ra không có giá trị \(y\) nào thỏa mãn trong trường hợp này.

Trường hợp 3: \(x =  – 10\) hoạc \(x = 8\) thì \(\left( {{x^2} + 2x – 80} \right)\left( {{2^x} – y} \right) < 0\) sai nên không có giá trị \(y\) nào.

Vậy có 124 giá trị \(y\) thỏa mãn yêu cầu đề.