28. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:

DẠNG TOÁN 46: CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
  Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
28. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:

Hàm số \(y = 2{\left[ {f\left( x \right)} \right]^3} – 9{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} + 12f\left( x \right) + 2021\) có bao nhiêu điểm cực đại?

A. \(5\).

B. \(10\).

_C. \(7\).

D. \(9\)

Lời giải

Hàm số \(y = g\left( x \right) = 2{\left[ {f\left( x \right)} \right]^3} – 9{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} + 12f\left( x \right) + 2021\) Liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Ta có \(y’ = 6.{f^2}\left( x \right).f’\left( x \right) – 18f\left( x \right).f’\left( x \right) + 12f’\left( x \right)\) \( = 6f’\left( x \right)\left[ {{f^2}\left( x \right) – 3f\left( x \right) + 2} \right]\).

\(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f’\left( x \right) = 0 & \left( 1 \right)\\f\left( x \right) = 1 & \left( 2 \right)\\f\left( x \right) = 2 & \left( 3 \right)\end{array} \right.\).

Từ \(\left( 1 \right)\), ta có \(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\\x = 3\\x = 4\end{array} \right.\).

Từ \(\left( 2 \right)\), ta có \(f\left( x \right) = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = a \in \left( { – \infty ;1} \right)\\x = 2\,\,\left( {{\rm{nghie\”a m ke\`u p}}} \right)\\x\, = b \in \left( {3;4} \right)\\x = c \in \left( {4; + \infty } \right)\end{array} \right.\).

Từ \(\left( 3 \right)\), ta có \(f\left( x \right) = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = d \in \left( {a;1} \right)\\x = e \in \left( {1;2} \right)\\x = 3\,\left( {{\rm{nghie\”a m ke\`u p}}} \right)\\x = u \in \left( {c; + \infty } \right)\end{array} \right.\).

Lập bảng xét dấu, ta có

Dựa vào bảng biến thiên, ta có hàm số \(y = g\left( x \right)\) có \(5\) điểm cực đại.