27. Cho hàm số \(f(x)\) là hàm bậc bốn thỏa mãn \(f(0) = 0\), đồ thị hàm số \(f'(x)\) như hình vẽ:

DẠNG TOÁN 46: CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
  Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
27. Cho hàm số \(f(x)\) là hàm bậc bốn thỏa mãn \(f(0) = 0\), đồ thị hàm số \(f'(x)\) như hình vẽ:

Số điểm cực tiểu của hàm số \(g(x) = \left| {f\left( {{x^3}} \right) – 3{x^2}} \right|\) là:

A. \(2\).

B. \(3\).

C. \(1\).

D. \(4\)

Lời giải

Xét hàm số \(h(x) = f\left( {{x^3}} \right) – 3{x^2}\) \( \Rightarrow h'(x) = 3{x^2}f’\left( {{x^3}} \right) – 6x = 3x\left( {xf’\left( {{x^3}} \right) – 2} \right)\).

Ta có \(h'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\xf’\left( {{x^3}} \right) – 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\f’\left( {{x^3}} \right) = \frac{2}{x}\,\left( * \right)\end{array} \right.\)

Giải (*): Đặt \(t = {x^3}\), ta có (*) trở thành \(f’\left( t \right) = \frac{2}{{\sqrt[3]{t}}}\).

Xét hàm số : \(y = \frac{2}{{\sqrt[3]{t}}}\); \( \Rightarrow y’\left( t \right) =  – \frac{2}{{3\sqrt[3]{{{t^4}}}}}\)

Trên hệ trục \(\left( {Oty} \right)\) vẽ hai đồ thị \(y = f’\left( t \right)\) và \(y = \frac{2}{{\sqrt[3]{t}}}\):

Dễ thấy chúng cắt nhau tại hai điểm có hoành độ \({t_1}\,v\`a \,\,{t_2}\,\left( {{t_1}\, < \,0\,\, < {t_2}} \right)\).

Do đó: \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt[3]{{{t_1}}}\\x = \sqrt[3]{{{t_2}}}\end{array} \right.\). Từ đó \(h(x) = f\left( {{x^3}} \right) – 3{x^2}\) có 3 điểm cực trị \(0,\,\,\sqrt[3]{{{t_1}}},\,\,\sqrt[3]{{{t_2}}}\).

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(h(x) = f\left( {{x^3}} \right) – 3{x^2}\):

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số \(h(x)\) suy ra bảng biên thiên của hàm số \(g(x)\).

Vậy hàm số \(g(x)\) có 3 điểm cực tiểu.