25. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đồ thị \(f’\left( x \right)\) như hình vẽ sau

DẠNG TOÁN 46: CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
  Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
25. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đồ thị \(f’\left( x \right)\) như hình vẽ sau

Biết \(f\left( 0 \right) = 0\). Hỏi hàm số \(g(x) = \left| {\frac{1}{3}f\left( {{x^3}} \right) – 2x} \right|\) có bao nhiêu điểm cực trị.

A. \(1\).

B. \(3\). 

C. \(5\).

D. \(4\)

Lời giải

Xét \(h(x) = \frac{1}{3}f\left( {{x^3}} \right) – 2x \Rightarrow {h^\prime }(x) = {x^2}{f^\prime }\left( {{x^3}} \right) – 2\)

Ta có \({h^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow {f^\prime }\left( {{x^3}} \right) = \frac{2}{{{x^2}}},(x \ne 0),(1)\)

Đặt \(t = {x^3} \Rightarrow x = \sqrt[3]{t}\)

Từ \(\left( 1 \right)\) ta có \({f^\prime }(t) = \frac{2}{{\sqrt[3]{{{t^2}}}}},(2)\)

Xét \(m(t) = \frac{2}{{\sqrt[3]{{{t^2}}}}} \Rightarrow {m^\prime }(t) =  – \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{{\sqrt[3]{{{t^5}}}}}\)

Khi đó ta có đồ thị hai hàm số như sau

Suy ra phương trình \(\left( 2 \right)\) có 1 nghiệm \(t = {t_0} > 0 \Rightarrow \) pt (1) có nghiệm \(x = \sqrt[3]{{{t_0}}} = {x_0} > 0\)

Bảng biến thiên của \(h\left( x \right),g\left( x \right) = \left| {h\left( x \right)} \right|\) như sau

Vậy hàm số \(y = g\left( x \right)\) có 3 điểm cực trị.