22. Cho hàm số \(y = f(x)\,\) là hàm bậc ba và có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

DẠNG TOÁN 46: CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
  Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
22. Cho hàm số \(y = f(x)\,\) là hàm bậc ba và có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Hàm số \(y = \left| {f({x^2}) – {x^4} – 2\,} \right|\)có bao nhiêu điểm cực trị?

A. \(5\).

B. \(3\).

C. \(7\).

D. \(2\)

Lời giải

Hàm số \(y = f(x)\,\)có dạng: \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\). Ta có: \(y’ = f’\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\).

Do\(A( – 1;3),\,\,B(1; – 1)\,\) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = f(x)\,\).

Ta có hệ:\(\left\{ \begin{array}{l}3a – 2b + c = 0\\3a + 2b + c = 0\\a + b + c + d =  – 1\\ – a + b – c + d = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 0\\c =  – 3\\d = 1\end{array} \right.\) 

Do đó: \(f(x)\, = {x^3} – 3x + 1\,\)và \(f’\left( x \right) = 3{x^2} – 3\)

Xét hàm số \(y = g(x) = f({x^2}) – {x^4} – 2 \Rightarrow g'(x) = 2x.f'({x^2}) – 4{x^3}\). 

\( \Rightarrow g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\f'({x^2}) = 2{x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\3{({x^2})^2} – 3 = 2{x^2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm \sqrt {\frac{{1 + \sqrt {10} }}{3}} \end{array} \right.\)

Ta có: \(g(0) = f(0) – {0^4} – 2 =  – 1\) . 

Do đó ta có BBT của hàm \(y = g(x) = f({x^2}) – {x^4}\, – 2\)như sau:

Qua BBT trên ta thấy đồ thị hàm số \(y = g(x) = f({x^2}) – {x^4}\, – 2\) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt và có 3 điểm cực trị nằm phía dưới trục hoành. 

Vậy số cực trị của hàm số\(y = \left| {g(x)} \right| = \left| {f({x^2}) – {x^4} – 2\,} \right|\) bằng số cực trị của hàm số \(y = g(x) = f({x^2}) – {x^4} – 2\) cộng với số giao điểm của đồ thị \(y = g(x) = f({x^2}) – {x^4} – 2\) với trục hoành nên số điểm cực trị của hàm số \(y = \left| {g(x)} \right| = \left| {f({x^2}) – {x^4} – 2\,} \right|\) là 5.