2. Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left| {x + 1} \right| + \left| {x – 2} \right| + \left| {x – 6} \right| + \left| {x – 9} \right|\). Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = f\left( {\left| x \right| + m} \right)\) không có cực trị?  

DẠNG TOÁN 46: CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
  Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
2. Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left| {x + 1} \right| + \left| {x – 2} \right| + \left| {x – 6} \right| + \left| {x – 9} \right|\). Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = f\left( {\left| x \right| + m} \right)\) không có cực trị?  

A. \(5\). B. \(4\). C. \(6\). D. \(7\)

Lời giải

Chọn B

• Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \left| {x + 1} \right| + \left| {x – 2} \right| + \left| {x – 6} \right| + \left| {x – 9} \right|\) có bảng biến thiên kép như hình vẽ: 

• Hàm số \(y = f\left( x \right)\) không có cực trị. Để hàm số \(y = f\left( {\left| x \right| + m} \right)\) không có cực trị thì đồ thị hàm số \(y = f\left( {x + m} \right)\) phải có nửa khoảng \(\left[ {…} \right)\) nằm ngang (hằng số) chứa điểm \(x = 0\) 

• Nửa khoảng nằm ngang của \(y = f\left( x \right)\) là \(\left[ {2;6} \right)\); của \(y = f\left( {x + m} \right)\) là \(\left[ {2 – m;6 – m} \right)\) 

• Suy ra \(0 \in \left[ {2 – m;6 – m} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 – m \le 0\\0 < 6 – m\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 \le m < 6\) \( \Rightarrow m = \left\{ {2;3;4;5} \right\}\) 

• Suy ra có tất cả 4 giá trị \(m\) nguyên thỏa mãn.