19. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(f\left( 0 \right) = 0\) và \(f’\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. 

DẠNG TOÁN 46: CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
  Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
19. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(f\left( 0 \right) = 0\) và \(f’\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. 

Số điểm cực trị có hoành độ dương của hàm số \(g\left( x \right) = \left| {f\left( {{x^3}} \right) + x} \right|\) là

A. \(4\).  

B. \(8\).  

C. 2.

D. \(9\)

Lời giải

Ta xét \(h\left( x \right) = f\left( {{x^3}} \right) + x\) 

\(h’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2}f’\left( {{x^3}} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow f’\left( {{x^3}} \right) =  – \frac{1}{{3{x^2}}}\) 

Đặt \(t = {x^3} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{t}\) phương trình trở thành \(f'(t) =  – \frac{1}{{3\sqrt[3]{{{t^2}}}}}(1)\) 

Xét \(y =  – \frac{1}{{3\sqrt[3]{{{x^2}}}}}\) . Ta có \(y’ = \frac{2}{{9\sqrt[3]{{{x^5}}}}}\) 

Bảng biến thiên:

Suy ra đồ thị hàm số \(f’\left( x \right)\) và \(y =  – \frac{1}{{3\sqrt[3]{{{x^2}}}}}\) cắt nhau tại 4 điểm phân biệt có hoành độ \(a < b < c < 0 < d\) 

Vậy \(\left( 1 \right)\) có \(4\) nghiệm 

Khi đó \(h’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt[3]{a}\\x = \sqrt[3]{b}\\x = \sqrt[3]{c}\\x = \sqrt[3]{d}\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Do \(f\left( 0 \right) = 0\) nên dựa vào bảng biến thiên ta có số điểm cực trị có hoành độ dương của hàm số \(g\left( x \right) = \left| {h\left( x \right)} \right|\) là \(2.\)