Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
17. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\). Biết \(f\left( { – 1} \right) > 2\) và đồ thị hàm số \(y = f’\left( x \right)\) như hình sau. Hàm số \(g\left( x \right) = \left| {f\left( {1 – 2x} \right) – 2{x^2}} \right|\) đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A. \(x = 1\).
B. \(x = – 1\).
C. \(x = – \frac{1}{2}\).
D. \(x = 2\)
Lời giải
Xét hàm số \(h\left( x \right) = f\left( {1 – 2x} \right) – 2{x^2}\), \(x \in \mathbb{R}\).
Ta có \(h’\left( x \right) = – 2f’\left( {1 – 2x} \right) – 4x\); \(h’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f’\left( {1 – 2x} \right) = – 2x\).
Đặt \(t = 1 – 2x\), ta có: \(f’\left( t \right) = t – 1\) (*)
Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f’\left( t \right)\) và \(y = t – 1\), ta có: (*)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = – 1}\\{t = 2}\end{array}} \right.\).
\(t = – 1 \Leftrightarrow 1 – 2x = – 1 \Leftrightarrow x = 1\); \(t = 2 \Leftrightarrow 1 – 2x = 2 \Leftrightarrow x = – \frac{1}{2}\).
Xét \(h’\left( 0 \right) = – 2f’\left( 1 \right) < 0\) (vì \(f’\left( 1 \right) > 0\)).
Bảng biến thiên:
Mặt khác \(f\left( { – 1} \right) > 2\) nên \(f\left( { – 1} \right) – 2 > 0\). Do đó, ta có bảng biến thiên của hàm số \(g\left( x \right) = \left| {h\left( x \right)} \right|\).
Vậy hàm số \(g\left( x \right) = \left| {f\left( {1 – 2x} \right) – 2{x^2}} \right|\) đạt cực đại tại \(x = – \frac{1}{2}\).
Trả lời