17. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\). Biết \(f\left( { – 1} \right) > 2\) và đồ thị hàm số \(y = f’\left( x \right)\) như hình sau. Hàm số \(g\left( x \right) = \left| {f\left( {1 – 2x} \right) – 2{x^2}} \right|\) đạt cực đại tại điểm nào sau đây?

DẠNG TOÁN 46: CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
  Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
17. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\). Biết \(f\left( { – 1} \right) > 2\) và đồ thị hàm số \(y = f’\left( x \right)\) như hình sau. Hàm số \(g\left( x \right) = \left| {f\left( {1 – 2x} \right) – 2{x^2}} \right|\) đạt cực đại tại điểm nào sau đây?

A. \(x = 1\).

B. \(x =  – 1\).

C. \(x =  – \frac{1}{2}\).

D. \(x = 2\)

Lời giải

Xét hàm số \(h\left( x \right) = f\left( {1 – 2x} \right) – 2{x^2}\), \(x \in \mathbb{R}\).

Ta có \(h’\left( x \right) =  – 2f’\left( {1 – 2x} \right) – 4x\); \(h’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f’\left( {1 – 2x} \right) =  – 2x\).

Đặt \(t = 1 – 2x\), ta có: \(f’\left( t \right) = t – 1\) (*)

Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f’\left( t \right)\) và \(y = t – 1\), ta có: (*)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t =  – 1}\\{t = 2}\end{array}} \right.\).

\(t =  – 1 \Leftrightarrow 1 – 2x =  – 1 \Leftrightarrow x = 1\); \(t = 2 \Leftrightarrow 1 – 2x = 2 \Leftrightarrow x =  – \frac{1}{2}\).

Xét \(h’\left( 0 \right) =  – 2f’\left( 1 \right) < 0\) (vì \(f’\left( 1 \right) > 0\)).

Bảng biến thiên:

Mặt khác \(f\left( { – 1} \right) > 2\) nên \(f\left( { – 1} \right) – 2 > 0\). Do đó, ta có bảng biến thiên của hàm số \(g\left( x \right) = \left| {h\left( x \right)} \right|\).

Vậy hàm số \(g\left( x \right) = \left| {f\left( {1 – 2x} \right) – 2{x^2}} \right|\) đạt cực đại tại \(x =  – \frac{1}{2}\).