15. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm \sqrt 3 } \right\}\), thỏa mãn \(1 – {x^3} = 2{x^2}f\left( x \right) + x{f^2}\left( x \right) – f’\left( x \right)\) và \(f\left( 1 \right) = 0\). Hàm số \(g\left( x \right) = {\left[ {f\left( {2x – 1} \right)} \right]^2}\) có bao nhiêu điểm cực tiểu ?

DẠNG TOÁN 46: CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
  Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
15. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm \sqrt 3 } \right\}\), thỏa mãn \(1 – {x^3} = 2{x^2}f\left( x \right) + x{f^2}\left( x \right) – f’\left( x \right)\) và \(f\left( 1 \right) = 0\). Hàm số \(g\left( x \right) = {\left[ {f\left( {2x – 1} \right)} \right]^2}\) có bao nhiêu điểm cực tiểu ?

A. \(0\).

B. \(1\).

C. \(2\).

D. \(3\)

Lời giải

Ta có: \(1 – {x^3} = 2{x^2}f\left( x \right) + x{f^2}\left( x \right) – f’\left( x \right) \Leftrightarrow 1 + f’\left( x \right) = x\left[ {{x^2} + 2xf\left( x \right) + {f^2}\left( x \right)} \right] = x{\left[ {x + f\left( x \right)} \right]^2}\)

\( \Rightarrow \frac{{1 + f’\left( x \right)}}{{{{\left[ {x + f\left( x \right)} \right]}^2}}} = x \Rightarrow \int {\frac{{1 + f’\left( x \right)}}{{{{\left[ {x + f\left( x \right)} \right]}^2}}}{\rm{d}}x}  = \int {x{\rm{d}}x}  \Rightarrow  – \frac{1}{{x + f\left( x \right)}} = \frac{{{x^2}}}{2} + C\)

Do \(f\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow  – \frac{1}{{1 + f\left( 1 \right)}} = \frac{1}{2} + C \Rightarrow C =  – \frac{3}{2}\)

Khi đó: \( – \frac{1}{{x + f\left( x \right)}} = \frac{{{x^2} – 3}}{2} \Rightarrow f\left( x \right) =  – \frac{2}{{{x^2} – 3}} – x \Rightarrow f’\left( x \right) = \frac{{4x}}{{{{\left( {{x^2} – 3} \right)}^2}}} – 1\)

Suy ra:

 \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow  – \frac{2}{{{x^2} – 3}} = x \Leftrightarrow {x^3} – 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2}\left( {x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \vee x =  – 2\) 

 \(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4x = {\left( {{x^2} – 3} \right)^2} \Leftrightarrow 4x = {x^4} – 6{x^2} + 9 \Leftrightarrow {x^4} – 6{x^2} – 4x + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = a > 2}\end{array}} \right.\)

Khi đó: \(g’\left( x \right) = 4f’\left( {2x – 1} \right)f\left( {2x – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x – 1 =  – 2}\\{2x – 1 = 1}\\{2x – 1 = a}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  – \frac{1}{2}}\\{x = 1}\\{x = \frac{{a + 1}}{2} > \frac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.\)

Ta có: \(f\left( x \right)\) không xác định khi \(x =  \pm \sqrt 3  \Rightarrow g\left( x \right)\) không xác định khi \(2x – 1 =  \pm \sqrt 3  \Leftrightarrow x = \frac{{ \pm \sqrt 3  + 1}}{2}\)

Mặt khác: \(g’\left( { – 1} \right) = 4.f’\left( { – 3} \right).f\left( { – 3} \right) = 4.\left( { – \frac{4}{3}} \right).\frac{8}{3} < 0\) và 

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{{ – \sqrt 3  + 1}}{2}} \right)}^ + }} g\left( x \right) =  + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{{ – \sqrt 3  + 1}}{2}} \right)}^ – }} g\left( x \right) =  + \infty \),\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{{\sqrt 3  + 1}}{2}} \right)}^ + }} g\left( x \right) =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{{ – \sqrt 3  + 1}}{2}} \right)}^ – }} g\left( x \right) =  + \infty ,\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } g\left( x \right) =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } g\left( x \right) =  + \infty \)

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra \(g\left( x \right)\)có 3 điểm cực tiểu