14. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) là đa thức bậc \(5\) có đồ thị \(f’\left( x \right)\) như hình vẽ.

DẠNG TOÁN 46: CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
  Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
14. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) là đa thức bậc \(5\) có đồ thị \(f’\left( x \right)\) như hình vẽ.

Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} + 2x} \right) – {x^2}\) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. \(3\).

B. \(2\).

C. \(4\).

D. \(1\)

Lời giải

Ta có : \(g’\left( x \right) = \left( {2x + 2} \right).f’\left( {{x^2} + 2x} \right) – 2x\).

\(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f’\left( {{x^2} + 2x} \right) = \frac{x}{{x + 1}}\), do \(x =  – 1\) không phải là nghiệm phương trình.

Xét hàm số : \(y = f’\left( {{x^2} + 2x} \right)\).

\(y’ = \left( {2x + 2} \right)f”\left( {{x^2} + 2x} \right)\).

Khi đó, \(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  – 1\\{x^2} + 2x =  – 4\\{x^2} + 2x =  – 2\\{x^2} + 2x = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  – 1\\x = 1\\x =  – 3\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên :

Xét hàm số: \(y = \frac{x}{{x + 1}}\).

\(y’ = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne  – 1\).

Bảng biến thiên :

Số nghiệm của phương trình: \(f’\left( {{x^2} + 2x} \right) = \frac{x}{{x + 1}}\) chính bằng số giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y = f’\left( {{x^2} + 2x} \right)\) và \(y = \frac{x}{{x + 1}}\).

Từ đồ thị suy ra phương trình \(g’\left( x \right) = 0\) có \(3\) nghiệm đơn, nên hàm số \(g\left( x \right)\) có \(3\) điểm cực trị.