Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
10. Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số bậc bốn. Biết \(f(4) = 0\) và đồ thị của hàm số \(f'(x)\) như hình vẽ. Hàm số \(g\left( x \right) = \left| {4f\left( x \right) – {x^2} + 3} \right|\) đồng biến trong khoảng nào sau đây?
A. \(\left( { – \infty ; – 2} \right)\).
B. \(\left( { – \infty ;0} \right)\).
C. \(\left( {0;4} \right)\).
D. \(\left( { – 2;0} \right)\)
Lời giải
+ Xét hàm số \(h\left( x \right) = 4f\left( x \right) – {x^2} + 3\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\), \(h’\left( x \right) = 4f’\left( x \right) – 2x\)
\(h’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f’\left( x \right) = \frac{x}{2}\,\)\(\left( * \right)\)
+ Nghiệm của PT \(\left( * \right)\) là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số\(y = f’\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = \frac{x}{2}\).
Từ hình vẽ trên ta có nghiệm của \(\left( * \right)\) là \(\left[ \begin{array}{l}x = – 2\\x = 0\\x = 4\end{array} \right.\).
+ Mặt khác, \({S_1} = \int\limits_{ – 2}^0 {\left| {f’\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x = } – \int\limits_{ – 2}^0 {f’\left( x \right){\rm{d}}x = } = f\left( { – 2} \right) – f\left( 0 \right)\)
\({S_2} = \int\limits_0^4 {\left| {f’\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x = } \int\limits_0^4 {f’\left( x \right){\rm{d}}x = } f\left( 4 \right) – f\left( 0 \right)\)
Từ đó ta có nhận xét: \({S_1} < {S_2} \Leftrightarrow f\left( { – 2} \right) – f\left( 0 \right) < f\left( 4 \right) – f\left( 0 \right) \Leftrightarrow f\left( { – 2} \right) < f\left( 4 \right)\)
\(h\left( { – 2} \right) = 4f\left( { – 2} \right) – 4 + 3 = 4f\left( { – 2} \right) – 1 < 4f(4) – 1 = 4.0 – 1 = – 1 \Rightarrow h\left( { – 2} \right) < – 1\)
\(h\left( 4 \right) = 4f\left( 4 \right) – 16 + 3 = – 13\)
\(h\left( 0 \right) = 4f\left( 0 \right) – 0 + 3 = 4f\left( 0 \right) + 3\)
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trong khoảng \(\left( { – 2;0} \right)\).
Để lại phản hồi