1. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) và có \(y = f’\left( x \right)\) là hàm số bậc bốn và có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số điểm cực đại của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{{\left| x \right|}^3}} \right) – \left| x \right|\) là

DẠNG TOÁN 46: CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
  Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
1. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) và có \(y = f’\left( x \right)\) là hàm số bậc bốn và có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số điểm cực đại của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{{\left| x \right|}^3}} \right) – \left| x \right|\) là

A. \(0\).

B. \(3\).

C. \(1\).

D. \(2\)

Lời giải

Xét hàm số \(h\left( x \right) = f\left( {{x^3}} \right) – x\).

Ta có \(h’\left( x \right) = 3{x^2}f’\left( {{x^3}} \right) – 1\).

\(h’\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3{x^2}f’\left( {{x^3}} \right) – 1 = 0 \Leftrightarrow 3{x^2}f’\left( {{x^3}} \right) = 1\) (*)

Xét \(x = 0\) (*)\( \Leftrightarrow 0 = 1\) vô nghiệm

Xét \(x \ne 0\) (*)\( \Leftrightarrow f’\left( {{x^3}} \right) = \frac{1}{{3{x^2}}}\) (1)

Đặt \({x^3} = t\)\( \Rightarrow x = \sqrt[3]{t} \Rightarrow {x^2} = \sqrt[3]{{{t^2}}}\). 

Khi đó (1) trở thành: \(f’\left( t \right) = \frac{1}{{3\sqrt[3]{{{t^2}}}}}\) (2)

Vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{3\sqrt[3]{{{x^2}}}}}\), \(y = f’\left( x \right)\) trên cùng hệ trục tọa độ \(Oxy\), ta được:

Từ đồ thị suy ra phương trình (2) có hai nghiệm \({t_1} = a > 0\) và \({t_2} = b < 0\).

\( \Rightarrow \left( 1 \right)\) có hai nghiệm \(x = \sqrt[3]{a} > 0\) và \(x = \sqrt[3]{b} < 0\).

Ta có \(g\left( { – x} \right) = h\left( {\left| { – x} \right|} \right) = h\left( {\left| x \right|} \right) \Rightarrow g\left( x \right)\) là hàm chẵn

Bảng biến thiên của \(h\left( x \right)\), \(g\left( x \right) = h\left( {\left| x \right|} \right)\).

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số \(g\left( x \right) = h\left( {\left| x \right|} \right) = f\left( {{{\left| x \right|}^3}} \right) – \left| x \right|\) có \(1\) điểm cực đại.