Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
0. Cho hàm \(f\left( x \right)\) là hàm bậc bốn thỏa mãn \(f\left( 0 \right) = 0.\)Hàm số \(f’\left( x \right)\)có bảng biến thiên như sau:
Hàm số \(g\left( x \right) = \left| {f\left( {{x^3}} \right) – 3x} \right|\) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. \({\rm{3}}\). B. \({\rm{5}}\). C. \({\rm{4}}\). D. \({\rm{2}}\).
Lời giải
Chọn A
Xét hàm số \(y = f\left( {{x^3}} \right) – 3x = h\left( x \right)\)
\(h’\left( x \right) = 3{x^2}.f’\left( {{x^3}} \right) – 3 = 0\)
\( \Leftrightarrow f’\left( {{x^3}} \right) = \frac{1}{{{x^2}}}\,\,\left( * \right)\)\(\)(Chỉ xét \(x \ne 0\) do \(x = 0\) không là nghiệm của phương trình)
Đặt \({x^3} = u \Rightarrow {x^2} = \sqrt[3]{{{u^2}}}\). \(\left( * \right)\) trở thành \(f’\left( u \right) = \frac{1}{{\sqrt[3]{{{u^2}}}}}\).
Số nghiệm của phương trình \(\left( * \right)\) chính là số giao điểm của ĐTHS \(y = f’\left( u \right)\) và \(y = \frac{1}{{\sqrt[3]{{{\user1{u}^2}}}}}\)
Xét hàm số \(y = t\left( u \right) = \frac{1}{{\sqrt[3]{{{u^2}}}}} \Rightarrow t’\left( u \right) = – \frac{2}{3}.\frac{1}{{\sqrt[3]{{{u^5}}}}}\). Ta có BBT:
\( \Rightarrow \) Ta có ĐTHS \(y = f’\left( u \right)\) và \(y = \frac{1}{{\sqrt[3]{{{u^2}}}}}\) như sau:
Dựa vào ĐTHS , ta thấy đồ thị hàm \(y = f’\left( u \right)\) và đồ thị hàm \(y = \frac{1}{{\sqrt[3]{{{u^2}}}}}\) có 1 giao điểm có hoành độ là \(a\)\( \Rightarrow \) Phương trình \(f’\left( u \right) = \frac{1}{{\sqrt[3]{{{u^2}}}}}\) có 1 nghiệm \(u = a\)
\( \Rightarrow \) Phương trình \(\left( * \right)\) có \(1\) nghiệm \(x = \sqrt[3]{a}\)
\( \Rightarrow \) Phương trình \(h’\left( x \right) = 0\) có \(1\) nghiệm \(x = \sqrt[3]{a}\)
(Giải thích \(\left( 1 \right)\) \(h\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) – 0 = 0\))
Từ BBT của hàm số \(y = h\left( x \right)\) ,ta thu được BBT của hàm số \(y = g\left( x \right) = \left| {h\left( x \right)} \right|\)
Vậy, hàm số \(g\left( x \right)\) có \(3\) cực trị
Để lại phản hồi