Câu hỏi:
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \left| {{x^2} + ax + b} \right|\), với \(a\), \(b\) là tham số. Gọi \(M\) là giá trị lớn nhất của hàm số trên \(\left[ { – 1;3} \right]\). Khi \(M\) nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính \(a + 2b\).
A. \(3\).
B. \(4\).
C. \( – 4\).
D. \(2\).
Lời giải
Chọn C
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\max \left\{ {\left| A \right|,\,\left| B \right|} \right\} \ge \left| A \right|\\\max \left\{ {\left| A \right|,\,\left| B \right|} \right\} \ge \left| B \right|\end{array} \right.\)\( \Rightarrow 2\max \left\{ {\left| A \right|,\,\left| B \right|} \right\} \ge \left| A \right| + \left| B \right| \ge \left| {A + B} \right|\).
Hay \(\max \left\{ {\left| A \right|,\,\left| B \right|} \right\} \ge \frac{{\left| {A + B} \right|}}{2}\,\,\,\,\left( 1 \right)\). Dấu “\( = \)” xảy ra khi \(A = B\).
Tương tự \(\left\{ \begin{array}{l}\max \left\{ {\left| A \right|,\,\left| B \right|} \right\} \ge \left| A \right|\\\max \left\{ {\left| A \right|,\,\left| B \right|} \right\} \ge \left| B \right|\end{array} \right.\) \( \Rightarrow 2\max \left\{ {\left| A \right|,\,\left| B \right|} \right\} \ge \left| A \right| + \left| B \right|\)\( = \left| A \right| + \left| { – B} \right| \ge \left| {A + \left( { – B} \right)} \right|\).
Suy ra \(\max \left\{ {\left| A \right|,\,\left| B \right|} \right\} \ge \frac{{\left| {A – B} \right|}}{2}\,\,\,\,\left( 2 \right)\). Dấu “\( = \)” xảy ra khi \(A = – B\).
Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^2} + ax + b\), có \(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ – a}}{2}\).
Trường hợp 1: \(\frac{{ – a}}{2} \notin \left[ { – 1;3} \right]\)\( \Leftrightarrow a \notin \left[ { – 6;2} \right]\). Khi đó \(M = \max \left\{ {\left| {1 – a + b} \right|,\,\left| {9 + 3a + b} \right|} \right\}\).
Áp dụng bất đẳng thức \(\left( 1 \right)\) ta có \(M \ge \left| {4 + a + b} \right| > 2\).
Trường hợp 2: \(\frac{{ – a}}{2} \in \left[ { – 1;3} \right]\)\( \Leftrightarrow a \in \left[ { – 6;2} \right]\). Khi đó \(M = \max \left\{ {\left| {1 – a + b} \right|,\,\left| {9 + 3a + b} \right|,\left| {b – \frac{{{a^2}}}{4}} \right|} \right\}\).
Áp dụng bất đẳng thức \(\left( 1 \right)\) và\(\left( 2 \right)\) ta có
\(M \ge \max \left\{ {\left| {5 + a + b} \right|,\,\left| {b – \frac{{{a^2}}}{4}} \right|} \right\}\)\( \Leftrightarrow M \ge \frac{1}{8}\left| {20 + 4a + {a^2}} \right|\)\( \Leftrightarrow M \ge \frac{1}{8}\left| {16 + {{\left( {a + 2} \right)}^2}} \right|\).
Suy ra \(M \ge 2\).
Vậy \(M\)nhận giá trị nhỏ nhất có thể được là \(M = 2\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = – 2\\5 + a + b = \frac{{{a^2}}}{4} – b\\1 – a + b = 9 + 3a + b\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – 2\\b = – 1\end{array} \right.\).
Do đó \(a + 2b = – 4\).
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Trả lời