Xét các số thực dương \(a\) và \(b\) thỏa mãn \({\log _3}\left( {1 + ab} \right) = \frac{1}{2} + {\log _3}\left( {b – a} \right)\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{{\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)}}{{a\left( {a + b} \right)}}\) bằng

Xét các số thực dương \(a\) và \(b\) thỏa mãn \({\log _3}\left( {1 + ab} \right) = \frac{1}{2} + {\log _3}\left( {b – a} \right)\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{{\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)}}{{a\left( {a + b} \right)}}\) bằng 

A. \(1\).                            B. \(2\).                          C. \(4\).                         D. \(3\).

  Lời giải

                 ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}b – a > 0\\a,b > 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow b > a > 0\).                

Ta có \({\log _3}\left( {1 + ab} \right) = \frac{1}{2} + {\log _3}\left( {b – a} \right)\)\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {1 + ab} \right) – {\log _3}\left( {b – a} \right) = \frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {\frac{{1 + ab}}{{b – a}}} \right) = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \frac{{1 + ab}}{{b – a}} = \sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow 1 + ab = \sqrt 3 \left( {b – a} \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{a} + b = \sqrt 3 \left( {\frac{b}{a} – 1} \right)\)

Vì \(\frac{1}{a} + b \ge 2\sqrt {\frac{b}{a}} \) nên \(\sqrt 3 \left( {\frac{b}{a} – 1} \right) \ge 2\sqrt {\frac{b}{a}} \) \( \Rightarrow 3{\left( {\frac{b}{a} – 1} \right)^2} \ge 4\frac{b}{a}\) \( \Rightarrow 3{\left( {\frac{b}{a}} \right)^2} – 10\frac{b}{a} + 3 \ge 0\)

\( \Rightarrow \frac{b}{a} \ge 3\) (Do \(b > a > 0\) nên \(\frac{b}{a} > 1\) ).

Mặt khác \(P = \frac{{\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)}}{{a\left( {a + b} \right)}}\)\( = \frac{{1 + {a^2} + {b^2} + {a^2}{b^2}}}{{{a^2} + ab}}\)\( \ge \frac{{2ab + {a^2} + {b^2}}}{{a\left( {a + b} \right)}}\)

\( = \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{a\left( {a + b} \right)}}\)\( = \frac{{a + b}}{a}\)\( = 1 + \frac{b}{a}\)\( \ge 4\).

Dấu \(” = ”\) xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}ab = 1\\\frac{b}{a} = 3\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\\b = \sqrt 3 \end{array} \right.\). Vậy \(\min P = 4\).