Xét các số thực \(a\), \(b\) thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{3} < b < a < 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\log _a}\left( {\frac{{3b – 1}}{4}} \right) + 12{\log _{\frac{b}{a}}}^2a – 3\)

DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

ĐỀ BÀI:

Xét các số thực \(a\), \(b\) thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{3} < b < a < 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\log _a}\left( {\frac{{3b – 1}}{4}} \right) + 12{\log _{\frac{b}{a}}}^2a – 3\)

A. \(\min P = 13\). 

B. \(\min P = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}\). 

C. \(\min P = \sqrt[3]{2}\). 

D. \(\min P = 9\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Tự luận:

Chúng ta có 2 hướng tiếp cận bài toán như sau:

 Hướng thứ nhất : Dùng phương pháp tiếp tuyến để tìm ra hệ số bất định \(a\) trong bài toán \(3x – 1 \le a{x^3}\).

Với mọi \(x \in \left( {\frac{1}{3};1} \right)\), đồ thị hàm số \(y = 3x – 1\) tiếp xúc đồ thị hàm số \(y = a{x^3}\) tại điểm \({x_0} = \frac{{3.\frac{1}{3} – 1}}{4} + \frac{{3.1 – 1}}{4} = \frac{1}{2}\) suy ra \(a = 4\).

Do vậy \(3x – 1 \le 4{x^3},\forall x \in \left( {\frac{1}{3};1} \right)\). 

Ghi chú : Chỗ này trình bày thêm để tránh trường hợp người dùng tài liệu không hiểu vì sao ngay từ khi vào bài ta dùng ngay đoạn \({\left( {2b – 1} \right)^2}\left( {b + 1} \right) \ge 0\). 

D. o đó khi dùng cách tiếp cận này, ta trình bày bài toán theo dạng như sau :

Ta có \({\left( {2b – 1} \right)^2}\left( {b + 1} \right) \ge 0 \Rightarrow 3b – 1 \le 4{b^3}\). Từ điều kiện đề bài ta suy ra \({\log _a}b > 1\).

Khi đó \(P \ge 3{\log _a}b + \frac{{12}}{{{{\left( {{{\log }_a}b – 1} \right)}^2}}} – 3 = \frac{{3{{\log }_a}b.{{\left( {{{\log }_a}b – 3} \right)}^2}}}{{{{\left( {{{\log }_a}b – 1} \right)}^2}}} + 9 \ge 9\).

Dấu  xảy ra khi và chỉ khi \(b = \frac{1}{2} \Rightarrow a = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}\).

Vậy \(\min P = 9\).

 Hướng thứ hai : Dùng bất đẳng thức Cauchy.

\(\forall x \in \left( {\frac{1}{3};1} \right)\), ta có \(\left( {3x – 1} \right).\frac{1}{2}.\frac{1}{2}\underbrace  \le _{Cauchy}\frac{{{{\left[ {\left( {3x – 1} \right) + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \right]}^3}}}{{27}} = {x^3} \Rightarrow 3x – 1 \le 4{x^3}\).

Áp dụng kết quả trên, ta có \(3b – 1 \le 4{b^3}\). Từ điều kiện đề bài ta suy ra \({\log _a}b > 1\).

Khi đó \(P \ge 3{\log _a}b + \frac{{12}}{{{{\left( {{{\log }_a}b – 1} \right)}^2}}} – 3 = \frac{{3{{\log }_a}b.{{\left( {{{\log }_a}b – 3} \right)}^2}}}{{{{\left( {{{\log }_a}b – 1} \right)}^2}}} + 9 \ge 9\).

Dấu  xảy ra khi và chỉ khi \(b = \frac{1}{2} \Rightarrow a = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}\).

Vậy \(\min P = 9\).

Tư duy + Casio + Mẹo:

Vẫn áp dụng kĩ thuật liên quan đến điều kiện \(\frac{1}{3} < b < a < 1\).

Nhập biểu thức \(P = {\log _a}\left( {\frac{{3b – 1}}{4}} \right) + 12\log _{\frac{b}{a}}^2a – 3\) vào máy tính.

Dùng lệnh CALC đồng thời cả \(a\), \(b\) với \(\frac{1}{3} < b < a < 1\) — thử nhanh liên tục.

Vậy \(\min P = 9\).

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

1. ĐẠO HÀM g'(x)

2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x)

3. Lập BBT xét dấu g'(x)

4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán.

===========