DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Xét các các số thực dương \(a\,,\,b\,,\,c\,,\,x\,,\,y\,,\,z\) thỏa mãn \(a > 1\,,\,b > 1\,,\,c > 1\) và \({a^x} = {b^y} = {c^z} = \sqrt[3]{{abc}}\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x + y + z\) thuộc tập hợp nào dưới đây?
A. \(\left( {2\,;\,4} \right)\).
B. \(\left( {4\,;\,6} \right)\).
C. \(\left( {6\,;\,8} \right)\).
D. \(\left( {8\,;\,10} \right)\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
– Tự luận
Ta có, \(a,\,b,\,c > 1\) và \(x,\,y,\,z > 0\) nên \({a^x},\,{b^y},\,{c^z},\,\sqrt[3]{{abc}} > 1\).
Do đó, \({a^x} = {b^y} = {c^z} = \sqrt[3]{{abc}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\left( {1 + {{\log }_a}b + {{\log }_a}c} \right)\\y = \frac{1}{3}\left( {{{\log }_b}a + 1 + {{\log }_b}c} \right)\\z = \frac{1}{3}\left( {{{\log }_c}a + {{\log }_c}b + 1} \right)\end{array} \right.\)
Khi đó, ta có:
\(P = x + y + z = \frac{1}{3}\left( {1 + {{\log }_a}b + {{\log }_a}c + {{\log }_b}a + 1 + {{\log }_b}c + {{\log }_c}a + {{\log }_c}b + 1} \right)\)
\( = \frac{1}{3}\left( {3 + {{\log }_a}b + {{\log }_a}c + {{\log }_b}a + {{\log }_b}c + {{\log }_c}a + {{\log }_c}b} \right)\)
\( = \frac{1}{3}\left( {3 + {{\log }_a}b + {{\log }_b}c + {{\log }_c}a + {{\log }_a}c + {{\log }_c}b + {{\log }_b}a} \right)\).
Mặt khác, \(a,\,b,\,c > 1\) nên \({\log _a}b,\,{\log _b}c,\,{\log _c}a,\,{\log _a}c,\,{\log _c}b,\,{\log _b}a > 0\).
Áp dụng
B. Đ.T Cô si cho 3 số dương
\({\log _a}b + \,{\log _b}c + \,{\log _c}a \ge 3\sqrt[3]{{{{\log }_a}b.{{\log }_b}c.{{\log }_c}a}}\)
\({\log _a}c + {\log _c}b + \,{\log _b}a \ge 3\sqrt[3]{{{{\log }_a}c.{{\log }_c}b.{{\log }_b}a}}\)
Suy ra, \(P \ge \frac{1}{3}\left( {3 + 3\sqrt[3]{{{{\log }_a}b.{{\log }_b}c.{{\log }_c}a}} + 3\sqrt[3]{{{{\log }_a}c.{{\log }_c}b.{{\log }_b}a}}} \right) = 3\).
Dấu “=” xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _a}b = {\log _b}c = {\log _c}a\\{\log _a}c = {\log _c}b = {\log _b}a\\{a^x} = {b^y} = {c^z} = \sqrt[3]{{abc}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _a}b = {\log _b}c = {\log _c}a\\\frac{1}{{{{\log }_c}a}} = \frac{1}{{{{\log }_b}c}} = \frac{1}{{{{\log }_a}b}}\\{a^x} = {b^y} = {c^z} = \sqrt[3]{{abc}}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = c\\x = y = z = 1\end{array} \right.\).
Vậy \(\min P = 3 \in \left( {2\,;\,4} \right)\).
– Tư duy + Casio + Mẹo:
Nhận thấy \(a,\,b,\,c\) có vai trò như nhau, suy ra \(x,\,y,\,z\) cũng có vai trò như nhau nên\(P = x + y + z = 3x\). Mà để \({P_{\min }} \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow {P_{\min }} = 3.\)
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
1. ĐẠO HÀM g'(x)
2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x)
3. Lập BBT xét dấu g'(x)
4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán.
===========