Tìm cực trị của hàm số không có tham số
Ví dụ 1:
Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{1}{3}{x^3} – {x^2} – 3x + \frac{4}{3}\)
b) \(y = \left| x \right|\left( {x + 2} \right)\)
Lời giải:
a) \(y = \frac{1}{3}{x^3} – {x^2} – 3x + \frac{4}{3}\)
Cách 1:
- Hàm số có TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
- \(y’ = {x^2} – 2x – 3\)
- \(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = – 1\\ x = 3 \end{array} \right.\)
- Bảng biến thiên:
- Kết luận:
- Hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\), giá trị cực đại tương ứng là \(y(-1)=3\);
- Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=3\), giá trị cực tiểu tương ứng là \(y_{CD}=-\frac{23}{3}\).
Cách 2:
- Hàm số có TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
- \(y’ = {x^2} – 2x – 3\)
- \(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = – 1\\ x = 3 \end{array} \right.\)
- \(y ”= 2x – 2\)
- \(y”\left( { – 1} \right) = – 4 < 0\) suy ra hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\), giá trị cực đại tương ứng là \(y(-1)=3\).
- \(y”\left( 3 \right) = 4 > 0\) suy ra hàm số đạt cực tiểu tại \(x=3\), giá trị cực tiểu tương ứng là \(y_{CD}=-\frac{23}{3}\).
b) \(y = \left| x \right|\left( {x + 2} \right)\)
- Hàm số có TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
- \(y’ = \frac{x}{{\left| x \right|}}\left( {x + 2} \right) + \left| x \right| = \frac{{2\left( {{x^2} + x} \right)}}{{\left| x \right|}} (x\ne0)\)
- Bảng biến thiên:
- Kết luận:
- Hàm số đạt cực đại tại \(x=-1,\) giá trị cực đại tương ứng là \(y(-1)=1;\)
- Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0,\) giá trị cực tiểu \(y(0)=0.\)
Ví dụ 2:
Tìm cực trị của hàm số \(y=x-sin2x+2.\)
Lời giải:
- Hàm số có TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
- \(y’ = 1 – 2\cos 2x\)
- \(y’=0 \Leftrightarrow \cos2x\Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi (k\in\mathbb{Z})\)
- \(y” = 4\sin 2x\)
- \(y”\left( {\frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = 4\sin \left( {\frac{\pi }{3} + 2k\pi } \right) = 2\sqrt 3 > 0\) suy ra hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \frac{\pi }{6} + k\pi\), giá trị cực tiểu tương ứng là \(y\left( {\frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = {\textstyle{\pi \over 6}} + k\pi – \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 2\).
- \(y”\left( { – \frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = 4\sin \left( { – \frac{\pi }{3} + 2k\pi } \right) = – 2\sqrt 3 < 0\) suy ra hàm số đạt cực đại tại \(x = -\frac{\pi }{6} + k\pi\), giá trị cực đại tương ứng là \(y\left( { – \frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = – \frac{\pi }{6} + k\pi – \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 2\).
Trả lời