[VDC – LOG MAX MIN 2020] Cho hàm số $ f\left(x\right)=\log_2^3x-\log_2{x^3}+m$ ($ m$là tham số thực). Gọi $ S$ là tập hợp tất cả các giá trị của $ m$ sao cho $\max\limits_{\left[1;4\right]}\left|f\left(x\right)\right|+\min\limits_{\left[1;4\right]}\left|f\left(x\right)\right|=6$. Tổng bình phương các phần tử của $ S$ bằng

Cho hàm số $ f\left(x\right)=\log_2^3x-\log_2{x^3}+m$ ($ m$là tham số thực). Gọi $ S$ là tập hợp tất cả các giá trị của $ m$ sao cho $\max\limits_{\left[1;4\right]}\left|f\left(x\right)\right|+\min\limits_{\left[1;4\right]}\left|f\left(x\right)\right|=6$. Tổng bình phương các phần tử của $ S$ bằng

A. $ 13$.
B. $ 18$
C. $ 5$
D. $ 8$

LỜI GIẢI

Ta có $ 1\le x\le 4\Leftrightarrow 0\le{\log_2}x\le 2$
Đặt $ t=\log_2x$ ta có $ 0\le t\le 2$
Xét hàm số $ g\left(t\right)=t^3-3t+m,\,\,t\in\left[0;2\right]$
$ g’\left(t\right)=3t^2-3=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
t=1\\
t=-1
\end{array}\right.$
Trường hợp 1: $ m-2\ge 0\Leftrightarrow m\ge 2$. Ta có
$\max\limits_{\left[1;4\right]}\left|f\left(x\right)\right|+\min\limits_{\left[1;4\right]}\left|f\left(x\right)\right|=6\Leftrightarrow m+2+m-2=6\Leftrightarrow m=3$ (nhận)

Trường hợp 2: $ m+2\le 0\Leftrightarrow m\le-2$.
Ta có
$\max\limits_{\left[1;4\right]}\left|f\left(x\right)\right|+\min\limits_{\left[1;4\right]}\left|f\left(x\right)\right|=6\Leftrightarrow-\left(m-2\right)-\left(m+2\right)=6\Leftrightarrow m=-3$ (nhận)

Trường hợp 3: $\left(m+2\right)\left(m-2\right) < 0\Leftrightarrow-2 < m < 2$. Khi đó $\min\limits_{\left[0;2\right]}\left|g\left(t\right)\right|=0$ Do đó $\max\limits_{\left[1;4\right]}\left|f\left(x\right)\right|+\min\limits_{\left[1;4\right]}\left|f\left(x\right)\right|=6\Leftrightarrow\max\limits_{\left[0;2\right]}\left|g\left(t\right)\right|=6\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} m+2=6 -m+2=6 \end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} m=4 m=-4 \end{array}\right.$ (loại) Vậy tổng bình phương tất cả các phần tử của $ S$ bằng $3^2+\left(-3\right)^2=18$}