Hàm số $y=f(x)$ có bảng biến trên $[-2;3]$ như hình dưới đây:

Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:

Bài toán gốc

Hàm số $y=f(x)$ có bảng biến trên $[-2;3]$ như hình dưới đây:

Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Hàm số đồng biến trên $(0;3)$.

b) Cực tiểu hàm số trên khoảng $(-2;3)$ bằng $2$.

c) Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên $[-2;3]$ tại điểm $x=3$.

d) Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên $[-2;3]$ tại điểm $x=2$.

Lời giải:
(Sai) Hàm số đồng biến trên $(0;3)$.
(Sai) Cực tiểu hàm số trên khoảng $(-2;3)$ bằng $2$.
(Sai) Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên $[-2;3]$ tại điểm $x=3$.
(Sai) Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên $[-2;3]$ tại điểm $x=2$.

Phân tích và Phương pháp giải

Dạng bài tập yêu cầu học sinh phân tích và diễn giải các thông tin thu được từ Bảng biến thiên (Bảng biến thiên) của một hàm số $y=f(x)$ trên một đoạn đóng (ví dụ: $[-2; 3]$ hoặc $[-1; 5]$). Phương pháp giải là đọc hiểu mối quan hệ giữa dấu của đạo hàm $f'(x)$ (quyết định tính đơn điệu) và các giá trị của hàm số $f(x)$ tại các điểm cực trị và các đầu mút của đoạn xét. Từ đó xác định: 1) Các khoảng đồng biến/nghịch biến. 2) Giá trị cực đại/cực tiểu. 3) Giá trị lớn nhất (Max) và nhỏ nhất (Min) trên đoạn đã cho.

Bài toán tương tự

Cho hàm số $y=g(x)$ liên tục trên đoạn $[-1; 5]$ có bảng biến thiên (Bảng giá trị) như sau: $g(x)$ tăng từ $1$ (tại $x=-1$) lên $5$ (tại $x=0$), giảm xuống $2$ (tại $x=3$), rồi tăng lên $8$ (tại $x=5$). Các điểm $x=0$ và $x=3$ là các điểm mà tại đó $g'(x)=0$.

Xác định phát biểu SAI trong các phát biểu sau:

A. Hàm số đạt cực đại tại $x=0$ và giá trị cực đại bằng $5$.

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 3)$.

C. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-1; 5]$ là $1$.

D. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-1; 5]$ là $5$.

Đáp án đúng: D

Giải thích:

– Dựa vào bảng giá trị, ta thấy $g(x)$ đạt giá trị lớn nhất trên $[-1; 5]$ là $8$ (tại $x=5$), và giá trị nhỏ nhất là $1$ (tại $x=-1$).

– Phát biểu A đúng vì tại $x=0$, $g(x)$ chuyển từ tăng sang giảm, đạt cực đại $g(0)=5$.

– Phát biểu B đúng vì $g(x)$ giảm từ $5$ xuống $2$ khi $x$ đi từ $0$ đến $3$.

– Phát biểu C đúng vì $\min_{[-1; 5]} g(x) = 1$.

– Phát biểu D sai vì $\max_{[-1; 5]} g(x) = 8$, không phải $5$.