Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=-3\cos 2x-\sin x-3$.

Bài toán gốc

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=-3\cos 2x-\sin x-3$.

A. $-\dfrac{37}{6}$.

B. $-\dfrac{73}{12}$.

C. $-\dfrac{145}{24}$.

D. $-6$.

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số lượng giác. Phương pháp giải chung là sử dụng công thức nhân đôi (cụ thể là $\cos 2x = 1 – 2\sin^2 x$ hoặc $\cos 2x = 2\cos^2 x – 1$) để đưa hàm số về dạng tam thức bậc hai theo một biến phụ $t = \sin x$ hoặc $t = \cos x$. Sau đó, tìm GTLN, GTNN của hàm số bậc hai $f(t)$ trên đoạn giới hạn $t \in [-1, 1]$.

Bài toán tương tự

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=2\cos 2x+4\cos x-5$.

A. 1.

B. -7.

C. 0.

D. -8.

Đáp án đúng: A. 1

Lời giải ngắn gọn: Ta có $y = 2(2\cos^2 x – 1) + 4\cos x – 5 = 4\cos^2 x + 4\cos x – 7$. Đặt $t = \cos x$, với $t \in [-1, 1]$. Hàm số trở thành $f(t) = 4t^2 + 4t – 7$. Xét hàm $f(t)$ trên đoạn $[-1, 1]$. Đỉnh của parabol là $t_0 = -\dfrac{4}{8} = -\dfrac{1}{2}$. Ta tính giá trị tại các điểm $t=-1, t=1$ và $t=-1/2$. $f(-1) = -7$; $f(-\dfrac{1}{2}) = -8$; $f(1) = 1$. Giá trị lớn nhất của hàm số là $1$.