Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=4\cos 2x-2\sin x-3$.

Bài toán gốc

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=4\cos 2x-2\sin x-3$.

A. $\dfrac{11}{8}$.

B. $1$.

C. $\dfrac{3}{4}$.

D. $\dfrac{9}{8}$.

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số lượng giác. Phương pháp giải là sử dụng công thức lượng giác cơ bản, cụ thể là công thức nhân đôi $\cos 2x = 1 – 2\sin^2 x$, để đưa hàm số đã cho về dạng một đa thức bậc hai theo một biến $t = \sin x$ (hoặc $t = \cos x$). Sau đó, khảo sát GTLN của hàm bậc hai $f(t)$ trên miền xác định $t \in [-1; 1]$.

Bài toán tương tự

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=2\cos 2x+4\cos x+1$.

A. $1$.
B. $-3$.
C. $-2$.
D. $2$.

Đáp án đúng: C.
Lời giải ngắn gọn:
Sử dụng công thức $\cos 2x = 2\cos^2 x – 1$, ta có:
$y = 2(2\cos^2 x – 1) + 4\cos x + 1 = 4\cos^2 x – 2 + 4\cos x + 1 = 4\cos^2 x + 4\cos x – 1$.
Đặt $t = \cos x$, với $t \in [-1; 1]$. Hàm số trở thành $f(t) = 4t^2 + 4t – 1$.
Đây là hàm bậc hai có đồ thị là parabol mở lên (hệ số $a=4>0$).
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh parabol $t_v = -b/(2a) = -4/(2\cdot 4) = -1/2$.
Vì $t = -1/2 \in [-1; 1]$, giá trị nhỏ nhất là:
$f(-1/2) = 4(-1/2)^2 + 4(-1/2) – 1 = 4(1/4) – 2 – 1 = 1 – 2 – 1 = -2$.