Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở

C. Khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 3 km. Khoảng cách từ B đến A là 12 km

Bài toán gốc

Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở

C. Khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 3 km. Khoảng cách từ B đến A là 12 km. Mỗi km dây điện đặt dưới nước mất 5000 USD, còn đặt dưới đất mất 4000 US

D. Hỏi điểm M trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua M rồi đến C là ít tốn kém nhất?

A. $7$.

B. $8$.

C. $6$.

D. $5$.

Lời giải: Đặt $AM=x$, hàm số chi phí là $f(x)=4000x+5000\sqrt{3^2+(12-x)^2}$, $x\in (0;12)$. Chi phí thấp nhất khi $x=8$.

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là bài toán ứng dụng đạo hàm để giải quyết bài toán tối ưu hóa trong hình học, cụ thể là tìm chi phí nhỏ nhất. Phương pháp là thiết lập hàm chi phí $F(x)$ dựa trên Định lý Pythagoras (cho đoạn đường dưới nước) và chi phí đơn vị. Sau đó, sử dụng đạo hàm bậc nhất $F'(x)$ để tìm điểm cực tiểu của hàm số, từ đó xác định vị trí tối ưu $x$ thỏa mãn $F'(x)=0$.

Bài toán tương tự

Một công ty cần lắp đặt đường ống dẫn dầu từ một điểm A trên bờ biển đến một giàn khoan C ngoài khơi. Giàn khoan C cách điểm B trên bờ biển 6 km (CB = 6 km). Khoảng cách từ B đến A dọc theo bờ biển là 10 km (AB = 10 km). Chi phí lắp đặt mỗi km đường ống dưới đất (từ A đến điểm M trên AB) là 3000 USD, và chi phí lắp đặt mỗi km dưới biển (từ M đến C) là 5000 USD. Hỏi điểm M phải cách A bao nhiêu để tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất?

A. 4,5 km
B. 5,5 km
C. 6,0 km
D. 7,5 km

Đáp án đúng: B.

Lời giải ngắn gọn: Đặt $AM=x$ ($0 < x < 10$). Chi phí là hàm số $F(x)=3000x+5000 {s} {q} {r} {t}(6^2+(10-x)^2)$. Tìm đạo hàm và giải phương trình $F'(x)=0$: $3000 = 5000 {s} {i} {n}( {a} {l} {p} {h} {a})$, với $ {s} {i} {n}( {a} {l} {p} {h} {a}) = (10-x) / {s} {q} {r} {t}(36+(10-x)^2)$. Ta có $3/5 = (10-x) / {s} {q} {r} {t}(36+(10-x)^2)$. Bình phương hai vế và giải ra $(10-x)^2 = 81/4$, suy ra $10-x = 4,5$. Vậy $x = 10 - 4,5 = 5,5$ (km).