Một cửa hàng bán bưởi với giá bán là 50.000 đồng/kg. Với giá bán này thì cửa hàng chỉ bán được khoảng 40 kg bưởi. Cửa hàng này dự định giảm giá bán, ước tính nếu cửa hàng cứ giảm mỗi kg 5000 đồng thì số bưởi bán được tăng thêm 20 kg

Bài toán gốc

Một cửa hàng bán bưởi với giá bán là 50.000 đồng/kg. Với giá bán này thì cửa hàng chỉ bán được khoảng 40 kg bưởi. Cửa hàng này dự định giảm giá bán, ước tính nếu cửa hàng cứ giảm mỗi kg 5000 đồng thì số bưởi bán được tăng thêm 20 kg. Xác định giá bán để cửa hàng đó thu về lợi nhận lớn nhất, biết rằng giá nhập về ban đầu là 30.000 đồng/kg.

A. $45500$ đồng.

B. $45000$ đồng.

C. $44000$ đồng.

D. $46500$ đồng.

Lời giải: Gọi $x$ là số tiền giảm giá so với giá ban đầu (nghìn đồng). Số kg bán được là $40+4x$. Số tiền lời thu được là $(50-x).\left(40+4x\right)-30\left(40+4x\right)=-4x^2+40x+800$. Đạt giá trị lớn nhất khi $x=5$.

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng bài toán tối ưu hóa lợi nhuận (Profit Maximization) dựa trên mối quan hệ tuyến tính giữa giá bán và số lượng hàng bán được. Phương pháp giải là thiết lập hàm lợi nhuận $L(x)$ theo biến $x$, trong đó $x$ là mức giảm giá (hoặc số lần giảm giá). Hàm lợi nhuận thu được sẽ là một hàm bậc hai $L(x) = ax^2 + bx + c$ với $a < 0$. Giá trị lớn nhất của hàm này đạt được tại đỉnh parabol, sử dụng công thức $x = -b/(2a)$. Sau khi tìm được $x$ tối ưu, thay ngược lại vào công thức giá bán.

Bài toán tương tự

Một cửa hàng bán áo phông với giá bán ban đầu là 150.000 đồng/áo. Với giá này, cửa hàng bán được 100 áo mỗi tuần. Cửa hàng dự định giảm giá bán, ước tính cứ giảm mỗi áo 10.000 đồng thì số áo bán được tăng thêm 50 áo. Xác định giá bán để cửa hàng đó thu về lợi nhuận lớn nhất, biết rằng giá nhập về ban đầu là 100.000 đồng/áo.

A. 140.000 đồng.

B. 135.000 đồng.

C. 130.000 đồng.

D. 145.000 đồng.

Đáp án đúng: B.

Lời giải ngắn gọn: Gọi $x$ là mức giảm giá (đơn vị: nghìn đồng). Mức tăng số lượng là $50$ áo cho mỗi $10$ nghìn đồng giảm giá, tức là 5 áo cho mỗi nghìn đồng giảm giá. Giá bán $P = 150 – x$. Số lượng bán $Q = 100 + 5x$. Lợi nhuận $L(x) = (P – C) \times Q = ((150 – x) – 100) \times (100 + 5x) = (50 – x)(100 + 5x) = -5x^2 + 150x + 5000$. Lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất khi $x = -150 / (2 \times (-5)) = 15$. Mức giảm giá tối ưu là 15.000 đồng. Giá bán tối ưu là $150.000 – 15.000 = 135.000$ đồng.