Một nông dân có 40 m hàng rào và muốn rào lại mảnh đất hình chữ nhật tiếp giáp với một con sông. Ông không cần rào cho phía giáp bờ sông

Bài toán gốc

Một nông dân có 40 m hàng rào và muốn rào lại mảnh đất hình chữ nhật tiếp giáp với một con sông. Ông không cần rào cho phía giáp bờ sông. Hỏi ông có thể rào được mảnh đất có diện tích lớn nhất là bao nhiêu?

A. $199$.

B. $200$.

C. $202$.

D. $198$.

Lời giải: Đặt cạnh vuông góc với bở sông là $x$, cạnh song song với bờ sông là $y$, ta có $2x+y=40,S=xy=-2x^2+40x$. Diện tích lớn nhất khi $x=10$.

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng toán tối ưu hóa (tìm giá trị lớn nhất) của hàm số bậc hai trong bối cảnh hình học. Bài toán yêu cầu tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật khi biết chu vi ba cạnh là hằng số P.Phương pháp giải:1. Thiết lập mối quan hệ giữa chu vi (2x + y = P) và diện tích (S = xy).2. Biểu diễn diện tích S dưới dạng hàm bậc hai theo một biến (ví dụ: S(x) = ax² + bx + c).3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm bậc hai tại đỉnh (x = -b/2a).Trong trường hợp này, để diện tích lớn nhất, cạnh song song với bờ sông (y) phải bằng hai lần cạnh vuông góc với bờ sông (y = 2x).

Bài toán tương tự

Một người làm vườn muốn rào một khu đất hình chữ nhật cạnh một bờ tường dài (không cần rào phía bờ tường). Ông ta có tổng cộng 60 m lưới rào. Hỏi diện tích lớn nhất mà ông có thể rào được là bao nhiêu?A. 400 m².B. 450 m².C. 420 m².D. 480 m².Đáp án đúng: B.Lời giải ngắn gọn:Gọi x là chiều dài cạnh vuông góc với bờ tường, y là chiều dài cạnh song song với bờ tường. Ta có tổng chiều dài rào: 2x + y = 60.Diện tích là S = xy = x(60 – 2x) = -2x² + 60x.Diện tích lớn nhất xảy ra tại đỉnh của parabol: x = -60 / (2 * -2) = 15 m.Khi đó y = 60 – 2(15) = 30 m.Diện tích lớn nhất là S = 15 * 30 = 450 m².