Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x+\dfrac{1}{x}+4$ trên $(0;+\infty)$.

Bài toán gốc

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x+\dfrac{1}{x}+4$ trên $(0;+\infty)$.

A. $6$.

B. $9$.

C. $4$.

D. $3$.

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng toán tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng xác định. Do hàm số có cấu trúc dạng $x + 1/x + C$ với $x > 0$, phương pháp hiệu quả nhất là sử dụng Bất đẳng thức Cô-si (AM-GM): $a+b \ge 2\sqrt{ab}$ (với $a, b > 0$). Trong bài toán gốc, áp dụng cho $x$ và $1/x$, ta có $x + 1/x \ge 2\sqrt{x \cdot 1/x} = 2$. Do đó, $y \ge 2+4 = 6$.

Bài toán tương tự

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=9x+\dfrac{1}{x}+3$ trên $(0;+\infty)$.

A. $10$.

B. $9$.

C. $12$.

D. $8$.

Đáp án đúng: C.

Giải thích: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương $9x$ và $\dfrac{1}{x}$. Ta có: $9x+\dfrac{1}{x} \ge 2\sqrt{9x \cdot \dfrac{1}{x}} = 2\sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6$. Khi đó, $y = (9x+\dfrac{1}{x}) + 3 \ge 6 + 3 = 9$. Dấu bằng xảy ra khi $9x = \dfrac{1}{x}$, tức là $9x^2 = 1$, hay $x = \dfrac{1}{3}$ (do $x>0$). Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là $9$. (Lưu ý: Nếu đáp án trong đề xuất là 9, ta chọn đáp án tương ứng. Nếu đề bài là $y=9x+\dfrac{1}{x}+5$, kết quả sẽ là $6+5=11$. Xem xét lại đáp án trắc nghiệm đã đưa: A. 10, B. 9, C. 12, D. 8. Giá trị nhỏ nhất là 9. Vậy đáp án B là đúng. Sửa lại: Giá trị nhỏ nhất là 9. Xin lỗi, tôi đã nhầm lẫn khi chọn đáp án trong phần này). Sửa lại đề xuất trắc nghiệm để khớp với đáp án tính toán 9. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=9x+\dfrac{1}{x}+3$ trên $(0;+\infty)$.

A. $10$.

B. $9$.

C. $12$.

D. $8$.

Đáp án đúng: B.