Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sqrt{10 – x^2}$

Bài toán gốc

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sqrt{10 – x^2}$

A. $\max\limits_{\left[-\sqrt{10}; \sqrt{10} \right]} f(x) = \sqrt{10}$; $\min\limits_{\left[ -\sqrt{10}; \sqrt{10} \right]} f(x) = -1$.

B. $\max\limits_{\left[-\sqrt{10}; \sqrt{10}\right]} f(x) = \sqrt{10}$; $\min\limits_{\left[ -\sqrt{10}; \sqrt{10} \right]} f(x) = 0$.

C. $\max\limits_{\left[-\sqrt{10}; \sqrt{10} \right]} f(x) = \sqrt{21}$; $\min\limits_{\left[ -\sqrt{10}; \sqrt{10} \right]} f(x) = 0$.

D. $\max\limits_{\left[-\sqrt{10}; \sqrt{10} \right]} f(x) = \sqrt{15}$; $\min\limits_{\left[ -\sqrt{10}; \sqrt{10} \right]} f(x) = 2$.

Lời giải: Ta có điều kiện xác định là $10 – x^2 \geq 0 \Rightarrow -\sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10}$.
Trên đoạn $[-\sqrt{10}; \sqrt{10}]$ ta có $f^{\prime}(x) = \dfrac{-x}{\sqrt{10 – x^2}}$; $f^{\prime}(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$
$\bullet$ Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $\sqrt{10}$ tại $x = 0$
$\bullet$ Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $0$ tại $x = \pm \sqrt{10}$

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số $f(x) = \/{a – x^2}$ trên miền xác định của nó. Phương pháp giải thông thường là:

1. Xác định miền xác định D của hàm số (thường là một đoạn đóng).

2. Sử dụng công cụ đạo hàm để tìm điểm cực trị trong đoạn D.

3. So sánh các giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và các điểm mút của đoạn D để tìm GTLN và GTNN.

Hoặc có thể sử dụng phương pháp đánh giá: Vì $f(x)$ là hàm căn bậc hai, GTLN/GTNN của $f(x)$ tương ứng với GTLN/GTNN của biểu thức dưới dấu căn.

Bài toán tương tự

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $g(x) = \sqrt{16 – x^2}$.

A. $\max g(x) = 4$; $\min g(x) = 1$.

B. $\max g(x) = 4$; $\min g(x) = 0$.

C. $\max g(x) = 5$; $\min g(x) = 0$.

D. $\max g(x) = 4$; $\min g(x) = 2$.

Đáp án đúng: B

Lời giải ngắn gọn:

Điều kiện xác định là $16 – x^2 \geq 0 \Rightarrow -4 \leq x \leq 4$. Ta xét hàm số trên đoạn $[-4; 4]$.

Vì $g(x) = \sqrt{16 – x^2}$ là hàm luôn không âm, GTLN và GTNN của $g(x)$ xảy ra khi $16 – x^2$ đạt GTLN và GTNN.

Ta có $0 \leq x^2 \leq 16$ trên đoạn $[-4; 4]$.

1. GTLN: $16 – x^2$ lớn nhất khi $x^2$ nhỏ nhất ($x=0$). $\max g(x) = g(0) = \sqrt{16 – 0} = 4$.

2. GTNN: $16 – x^2$ nhỏ nhất khi $x^2$ lớn nhất ($x=\pm 4$). $\min g(x) = g(\pm 4) = \sqrt{16 – 16} = 0$.