Hàm số $y=f(x)=\dfrac{x-m^2}{x+3}$ với $m$ là tham số thực. Tính tổng bình phương các giá trị $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số trên $[-6;-4]$ bằng $8$?

Bài toán gốc

Hàm số $y=f(x)=\dfrac{x-m^2}{x+3}$ với $m$ là tham số thực. Tính tổng bình phương các giá trị $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số trên $[-6;-4]$ bằng $8$?

A. $10$.

B. $7$.

C. $8$.

D. $6$.

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng bài toán tìm tham số m dựa trên Giá trị lớn nhất (GTLN) hoặc Giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số bậc nhất trên bậc nhất ($y = (ax+b)/(cx+d)$) trên một đoạn. Phương pháp giải là: 1. Tính đạo hàm $y’$. 2. Vì hàm số bậc nhất trên bậc nhất luôn đơn điệu (luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến) trên miền xác định của nó, GTLN và GTNN luôn xảy ra tại các điểm mút của đoạn. 3. Xác định GTLN/GTNN dựa trên dấu của $y’$. 4. Lập phương trình theo điều kiện GTLN/GTNN đã cho để tìm $m$. (Trong bài toán gốc, $y’ = (3+m^2)/(x+3)^2 > 0$, hàm số đồng biến, nên GTLN xảy ra tại $x=-4$. Ta có $f(-4)=8$ dẫn đến $m^2=4$. Tổng bình phương là $4+4=8$.)

Bài toán tương tự

Hàm số $y=f(x)=\dfrac{x+m^2}{x-1}$ với $m$ là tham số thực. Tính giá trị của $m^2$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $[2; 4]$ bằng $5$?
A. $6$.
B. $7$.
C. $5$.
D. $9$.

Đáp án đúng: D.

Lời giải ngắn gọn:
1. Tính đạo hàm: $f'(x) = \dfrac{(1)(x-1) – (1)(x+m^2)}{(x-1)^2} = \dfrac{-1-m^2}{(x-1)^2}$.
2. Vì $m^2 \ge 0$, ta có $f'(x) < 0$ với mọi $x \ne 1$. Hàm số nghịch biến trên đoạn $[2; 4]$.
3. Do hàm số nghịch biến, giá trị nhỏ nhất (GTNN) đạt được tại điểm mút phải, tức là $x=4$.
4. Ta có $\min_{[2; 4]} f(x) = f(4)$. Theo đề bài, $f(4) = 5$.
5. Thay $x=4$ vào hàm số: $f(4) = \dfrac{4+m^2}{4-1} = \dfrac{4+m^2}{3}$.
6. Giải phương trình: $\dfrac{4+m^2}{3} = 5 \Rightarrow 4+m^2 = 15 \Rightarrow m^2 = 11$.
(LƯU Ý: Nếu đáp án trắc nghiệm không khớp, cần điều chỉnh tham số ban đầu hoặc đáp án. Nếu điều chỉnh để khớp đáp án D ($m^2=9$): $4+m^2=13$. Điều kiện mới là GTNN bằng $13/3$. Giả sử ta sửa đề bài gốc thành tìm $m^2$ để GTNN bằng $13/3$.)

***(Điều chỉnh bài toán để khớp đáp án 9)***

Bài toán tương tự sửa đổi: Hàm số $y=f(x)=\dfrac{x+m^2}{x-2}$ với $m$ là tham số thực. Tính giá trị của $m^2$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $[3; 5]$ bằng $6$?

1. Đạo hàm: $f'(x) = \dfrac{(1)(x-2) – (1)(x+m^2)}{(x-2)^2} = \dfrac{-2-m^2}{(x-2)^2} < 0$. Hàm số nghịch biến.
2. GTNN đạt tại $x=5$. $f(5) = \dfrac{5+m^2}{5-2} = \dfrac{5+m^2}{3}$.
3. $f(5)=6 \Rightarrow \dfrac{5+m^2}{3} = 6 \Rightarrow 5+m^2 = 18 \Rightarrow m^2 = 13$.
(Nếu muốn ra đáp án có sẵn trong A, B, C, D, ta cần chọn một đáp án và tính ngược lại. Ta chọn đáp án A: $m^2=6$. $f(5) = (5+6)/3 = 11/3$.)

**Sử dụng bài toán tương tự gốc (Kết quả $m^2=11$, không khớp A, B, C, D) và tạo 4 đáp án mới:**

Hàm số $y=f(x)=\dfrac{x+m^2}{x-1}$ với $m$ là tham số thực. Tính giá trị của $m^2$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $[2; 4]$ bằng $15$?
A. $38$.
B. $39$.
C. $40$.
D. $41$.

Lời giải ngắn gọn:
Hàm số nghịch biến trên $[2; 4]$ ($f'(x) = \dfrac{-1-m^2}{(x-1)^2} < 0$).
GTNN xảy ra tại $x=4$. $f(4) = 15$.
$f(4) = \dfrac{4+m^2}{4-1} = \dfrac{4+m^2}{3}$.
$\,\dfrac{4+m^2}{3} = 15 \Rightarrow 4+m^2 = 45 \Rightarrow m^2 = 41$.
Đáp án đúng: D.