Trong không gian với hệ trục ${Oxyz}$, cho hai đường thẳng ${d_1\colon\dfrac{x-4}{3}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z+5}{-2}}$ và ${d_2\colon\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+3}{3}=\dfrac{z}{1}}$. Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ có phương trình
A. ${x^2+y^2+z^2+2x+y-z=0}$.
B. ${x^2+y^2+z^2-4x-2y+2z=0}$.
C. ${x^2+y^2+z^2-2x-y+z=0}$.
D. ${x^2+y^2+z^2+4x+2y-2z=0}$.
Lời giải
Chọn B
Ta có hai đường thẳng ${d_1\colon\dfrac{x-4}{3}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z+5}{-2}}$ và ${d_2\colon\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+3}{3}=\dfrac{z}{1}}$ lần lượt có hai véc-tơ chỉ phương ${\overrightarrow{u}_1(3;-1;-2)}$ và ${\overrightarrow{u}_2(1;3;1)}$.
Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ khi đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng là một đường kính của mặt cầu.
Gọi ${A\left(4+3a;1-a;-5-2a\right)\in d_1}$ và ${B\left(2+b;-3+3b;b\right)\in d_2}$, ${\overrightarrow{AB}\left(b-3a-2;3b+a-4;b+2a+5\right)}$. ${AB}$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ khi và chỉ khi ${\left\{\begin{align}&\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{u}_1\\&\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{u}_2\end{align}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{align}&\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{u}_1=0\\&\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{u}_2=0\end{align}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{align}&7a+b+6=0\\&11b+2a-9=0\end{align}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{align}&a=-1\\&b=1.\end{align}\right.}$ \\
Suy ra ${A(1;2;-3)}$, ${B(3;0;1)}$ và ${\overrightarrow{AB}(2;-2;4)}$. Suy ra mặt cầu ${(S)}$ có tâm của là trung điểm của đoạn ${AB}$ có tọa độ ${I(2;1;-1)}$ và bán kính ${R=\dfrac{AB}{2}=\sqrt{6}}$. Suy ra ${(S)}$ có phương trình là ${x^2+y^2+z^2-4x-2y+2z=0}$..
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là ${(x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=9}$.
===========
Đây là các câu VẬN DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXYZ – 2024.
Trả lời