Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) có \(A\left( {0;2;0} \right)\), \(B\left( {2;0;0} \right)\), \(C\left( {0;0;\sqrt 2 } \right)\) và \(D\left( {0; – 2;0} \right)\). Số đo góc của hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {ACD} \right)\) là:

Câu hỏi:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) có \(A\left( {0;2;0} \right)\), \(B\left( {2;0;0} \right)\), \(C\left( {0;0;\sqrt 2 } \right)\) và \(D\left( {0; – 2;0} \right)\). Số đo góc của hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {ACD} \right)\) là:

A. \({30^0}\).

B. \({45^0}\).

C. \({60^0}\).

D. \({90^0}\).

Lời giải

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { – 2\sqrt 2 ; – 2\sqrt 2 ; – 4} \right)\).

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {4\sqrt 2 ;0;0} \right)\).

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {ACD} \right)\).

Ta có \(\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\left( { – 2\sqrt 2 } \right).4\sqrt 2 } \right|}}{{\sqrt {{{\left( { – 2\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( { – 2\sqrt 2 } \right)}^2} + {4^2}} .\sqrt {{{\left( {4\sqrt 2 } \right)}^2}} }} = \frac{1}{2} \to \varphi = {60^0}\).

====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ