Câu 84: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d\): \(\frac{{x + 1}}{{ – 2}} = \frac{y}{1} = \frac{{z – 1}}{1}\) và điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa đường thẳng \(d\) sao cho khoảng cách từ \(M\) đến \(\left( P \right)\) là lớn nhất. Khi đó, tọa độ của vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là:

Câu hỏi:

Câu 84: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d\): \(\frac{{x + 1}}{{ – 2}} = \frac{y}{1} = \frac{{z – 1}}{1}\) và điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa đường thẳng \(d\) sao cho khoảng cách từ \(M\) đến \(\left( P \right)\) là lớn nhất. Khi đó, tọa độ của vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là:

A. \(\left( {1;2;3} \right)\).

B. \(\left( { – 2;1;1} \right)\).

C. \(\left( { – 1;0;1} \right)\).

D. \(\left( {1;1;1} \right)\).

Lời giải

Gọi \(K\), \(H\) lần lượt là hình chiếu của \(M\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(d\).

Ta có: \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = MK \le MH\). Vậy \(d\left( {M,\left( P \right)} \right)\) lớn nhất khi \(K \equiv H\). Khi đó: \(MH \bot \left( P \right)\).

\(H \in d\) nên \(H\left( { – 1 – 2t;t;1 + t} \right)\); \(\overrightarrow {MH} = \left( { – 2 – 2t;t – 2;t – 2} \right)\).

Vectơ chỉ phương của \(d\) là \(\vec u = \left( { – 2;1;1} \right)\).

\(\overrightarrow {MH} .\vec u = 0\) \( \Leftrightarrow – 2\left( { – 2 – 2t} \right) + t – 2 + t – 2 = 0\)\( \Leftrightarrow t = 0\). Vậy \(H\left( { – 1;0;1} \right)\); \(\overrightarrow {HM} = \left( {2;2;2} \right) = 2\left( {1;1;1} \right)\).

Khi đó tọa độ vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là: \(\left( {1;1;1} \right)\).\(\)

====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ