Trong không gian tọa độ \(Oxyz\), cho 2 đường thẳng \({d_1}:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z – 1}}{{ – 2}}\), \({d_2}:\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{3} = \frac{{z + 2}}{1}.\)Mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0\) song song với \({d_1},{d_2}\) và khoảng cách từ \({d_1}\) đến \(\left( P \right)\) bằng 2 lần khoảng cách từ \({d_2}\) đến \(\left( P \right)\). Tính \(S = \frac{{a + b + c}}{d}\).

Câu hỏi:

Trong không gian tọa độ \(Oxyz\), cho 2 đường thẳng \({d_1}:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z – 1}}{{ – 2}}\), \({d_2}:\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{3} = \frac{{z + 2}}{1}.\)Mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0\) song song với \({d_1},{d_2}\) và khoảng cách từ \({d_1}\) đến \(\left( P \right)\) bằng 2 lần khoảng cách từ \({d_2}\) đến \(\left( P \right)\). Tính \(S = \frac{{a + b + c}}{d}\).

A. \(S = 1\).

B. \(S = \frac{8}{{34}}\) hoặc \(S = – 4\).

C. \(S = 4\).

D. \(S = \frac{1}{3}\).

Lời giải

Đường thẳng \({d_1}\) đi qua điểm \(A\left( {1; – 2;1} \right)\) và có véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;1; – 2} \right)\).

Đường thẳng \({d_2}\) đi qua điểm \(B\left( {1;1; – 2} \right)\) và có véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;3;1} \right)\).

Ta có \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {7; – 4;5} \right)\) và \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;3; – 3} \right)\), nên \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {AB} = 0.7 + 3.\left( { – 4} \right) + \left( { – 3} \right).5 = – 27 \ne 0 \Rightarrow \) Hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) chéo nhau. Gọi MN là đoạn vuông góc chung của \({d_1}\) và \({d_2}\) với \(M \in {d_1},N \in {d_2}\).

Khi đó \(M\left( {1 + 2t;t – 2;1 – 2t} \right),N\left( {1 + t’;1 + 3t’;t’ – 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {t’ – 2t;3 + 3t’ – t;t’ + 2t – 3} \right)\).

Từ \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_1}} = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_2}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3t’ – 9t + 9 = 0\\11t’ – 3t + 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t’ = – \frac{3}{{10}}\\t = \frac{9}{{10}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}N\left( {\frac{7}{{10}};\frac{1}{{10}}; – \frac{{23}}{{10}}} \right)\\M\left( {\frac{{14}}{5}; – \frac{{11}}{{10}}; – \frac{4}{5}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( { – \frac{{21}}{{10}};\frac{6}{5}; – \frac{3}{2}} \right)\).

Gọi \(I = MN \cap \left( P \right)\) thì ta có \(MN \bot \left( P \right)\) tại I \(\left( {{\rm{do}}\,\,{d_1}\parallel \left( P \right),{d_2}\parallel \left( P \right),MN \bot {d_1},MN \bot {d_2}} \right)\).

– Trường hợp 1: Hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) nằm về cùng một phía so với mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Khi đó do \(d\left( {{d_1};\left( P \right)} \right) = 2d\left( {{d_2};\left( P \right)} \right)\) nên \(\overrightarrow {MI} = 2\overrightarrow {MN} \). Ta tìm được tọa độ điểm \(I\left( { – \frac{7}{5};\frac{{13}}{{10}}; – \frac{{19}}{5}} \right)\)

Phương trình \(\left( P \right):7x – 4y + 5z + 34 = 0 \Rightarrow S = \frac{{a + b + c}}{d} = \frac{{7 – 4 + 5}}{{34}} = \frac{8}{{34}}\). Đến đây thì ta có thể chọn ngay phương án B và có kết quả thỏa mãn.

====================
Thuộc chủ đề:  Trắc nghiệm Hình học OXYZ