Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 9\) và hai điểm \(M\left( {4; – 4;2} \right)\), \(N\left( {6;0;6} \right)\). Gọi \(E\) là điểm thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho \(EM + EN\) đạt giá trị lớn nhất. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu \(\left( S \right)\) tại \(E\).

Câu hỏi:
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 9\) và hai điểm \(M\left( {4; – 4;2} \right)\), \(N\left( {6;0;6} \right)\). Gọi \(E\) là điểm thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho \(EM + EN\) đạt giá trị lớn nhất. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu \(\left( S \right)\) tại \(E\).

A. \(x – 2y + 2z + 8 = 0\).

B. \(2x + y – 2z – 9 = 0\).

C. \(2x + 2y + z + 1 = 0\).

D. \(2x – 2y + z + 9 = 0\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;2} \right)\) và bán kính \(R = 3\).

Gọi \(K\) là trung điểm của \(MN\) \( \Rightarrow \) tọa độ của \(K\) là \(K\left( {5; – 2;4} \right)\), \(IK = 6 > 3\) nên \(K\) nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {IK} = \left( {4; – 4;2} \right)\), \(\overrightarrow {MN} = \left( {2;4;4} \right)\) \( \Rightarrow MN = 6\) và \(IK \bot MN\).

Xét tam giác \(EMN\) áp dụng công thức đường trung tuyến ta có:

\(E{K^2} = \frac{{E{M^2} + E{N^2}}}{2} – \frac{{M{N^2}}}{4} \Rightarrow E{M^2} + E{N^2} = 2E{K^2} + \frac{{M{N^2}}}{2}\)

Ta lại có: \(EM + EN \le \sqrt {2\left( {E{M^2} + E{N^2}} \right)} \) \( = \sqrt {2\left( {2E{K^2} + \frac{{M{N^2}}}{2}} \right)} \) \( = \sqrt {4E{K^2} + 36} \).

Bởi vậy \(EM + EN\) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(EM = EN\) và \(EK\) lớn nhất.

Do \(EK\) lớn nhất nên \(E\) thuộc đường thẳng \(IK\).

Phương trình đường thẳng \(IK\) là: \(IK:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 – 2t\\z = 2 + t\end{array} \right.\).

Tọa độ giao điểm \(E\) của đường thẳng \(IK\) với mặt cầu \(\left( S \right)\) ứng với \(t\) là nghiệm phương trình:

\({\left( {1 + 2t – 1} \right)^2} + {\left( {2 – 2t – 2} \right)^2} + {\left( {2 + t – 2} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow t = \pm 1\).

Như vậy \({E_1}\left( {3;0;3} \right)\) hoặc \({E_2}\left( { – 1;4;1} \right)\).

Ta có \({E_1}K = 3\), \({E_2}K = 9\). Suy ra \(E = \left( { – 1;4;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IE} = \left( { – 2;2; – 1} \right)\), nên phương trình tiếp diện của mặt cầu \(\left( S \right)\) tại \(E\) có phương trình:

\( – 2\left( {x + 1} \right) + 2\left( {y – 4} \right) – 1\left( {z – 1} \right) = 0\) hay \(2x – 2y + z + 9 = 0\).

=======