Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {5;0;0} \right)\) và \(B\left( {3;4;0} \right)\). Với C là điểm nằm trên trục Oz, gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Khi C di động trên trục Oz thì H luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính của đường tròn đó bằng

Ta có \(OA{\kern 1pt} = OB = 5\) nên tam giác OAB cân tại O.

Ta có \(C\left( {0;0;c} \right)\).

Gọi \(E\left( {4;2;0} \right)\) là trung điểm của AB.

Do \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot OC\\AB \bot OE\end{array} \right.\), suy ra mặt phẳng \(\left( {OCE} \right)\) cố định vuông góc với AB và tam giác ABC cân tại C. Khi đó \(H \in \left( {OCE} \right)\).

Gọi K là trực tâm tam giác OAB, do A, B và K cùng nằm trong mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) nên \(K\left( {a;b;0} \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OK} .\overrightarrow {AB} = 0\\\overrightarrow {BK} .\overrightarrow {OA} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a.\left( { – 2} \right) + b.4 = 0\\a – 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = \frac{3}{2}\end{array} \right.\). Tìm được \(K = \left( {3;\frac{3}{2};0} \right)\).

Ta chứng minh được \(KH \bot \left( {CAB} \right)\) (do \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot \left( {OEC} \right)\\CA \bot \left( {BHK} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}HK \bot AB\\HK \bot CA\end{array} \right.\)).

Suy ra \(\widehat {KHE} = 90^\circ \).

Suy ra H thuộc mặt cầu đường kính \(KE = \sqrt {1 + \frac{1}{4}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\) và thuộc mặt phẳng \(\left( {OCE} \right)\) cố định. Vậy H luôn thuộc một đường tròn cố định có bán kính \(R = \frac{{\sqrt 5 }}{4}\).