Trong không gian ${Oxyz}$, cho hai mặt cầu ${\left( {{S}_1} \right):\,{{\left( x+4 \right)}^2}+y^2+z^2=16}$, ${\left( {{S}_2} \right):\,{{\left( x+4 \right)}^2}+y^2+z^2=36}$ và điểm ${A\left( 4;0;0 \right)}$. Đường thẳng ${d}$ thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với ${({{S}_1})}$, đồng thời cắt ${\left( {{S}_2} \right)}$ tại hai điểm ${B,\,\,C}$. Tam giác ${ABC}$ có thể có diện tích lớn nhất là bao nhiêu?
A. ${24\sqrt{5}}$.
B. ${48}$.
C. ${72}$.
D. ${28\sqrt{5}}$.
Lời giải
Chọn A
${\left( {{S}_1} \right),\,\,\left( {{S}_2} \right)}$ có cùng tâm ${I\left( -4;0;0 \right)}$ và lần lượt có bán kính là ${{{r}_1}=4,\,\,{{r}_2}=6}$.
Gọi ${T}$ là hình chiếu của ${I}$ trên ${ d}$, ta được ${TB=\sqrt{IB^2-IT^2}=2\sqrt{5}}$, tức ${BC=4\sqrt{5}}$.
Gọi ${\left( P \right)}$ là tiếp diện của ${\left( {{S}_1} \right)}$ tại ${T}$, khi đó ${\Delta }$ qua ${T}$ và nằm trong ${\left( P \right)}$.
Gọi ${H}$ là hình chiếu của ${A}$ trên ${ d}$, ta có ${AH\le AT}$, dấu bằng xảy ra khi ${ d\bot AT}$.
Gọi ${M,\,\,N}$ là các giao điểm của đường thẳng ${AI}$ và ${\left( {{S}_1} \right)}$ với ${AM
Trả lời