Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {4;5;6} \right);B\left( {1;3;2} \right)\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\). Gọi \(C\) là điểm nằm trên trục \(Oz\) sao cho \(BC\) và \(AH\) là hai đường thẳng cắt nhau. Xác định tọa độ điểm \(C\).
A. \(C\left( {0;0;2} \right)\).
B. \(C\left( {0;0; – \frac{2}{3}} \right)\).
C. \(C\left( {0;0;4} \right)\).
D. \(C\left( {0;0; – 4} \right)\)
Lời giải
Vì \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) nên \(H\left( {0;5;6} \right)\).
Gọi \(C\left( {0;0;c} \right)\) là một điểm nằm trên trục \(Oz\) và \(D\) là giao điểm của \(BC\) và \(AH\).
Khi đó \(A,D,H\) nên \(\overrightarrow {AD} = k\overrightarrow {HA} = \left( {4k;0;0} \right)\) suy ra tọa độ điểm \(D\left( {4k + 4;5;6} \right)\).
Lại có \(B,D,C\)thẳng hàng nên \(\overrightarrow {BD} = l\overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4k + 4 – 1 = l.\left( {0 – 1} \right)\\5 – 3 = l\left( {0 – 3} \right)\\6 – 2 = l\left( {c – 2} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = – \frac{7}{{12}}\\l = – \frac{2}{3}\\c = – 4\end{array} \right.\)
Vậy \(C\left( {0;0; – 4} \right)\).