Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {4;5;6} \right);B\left( {1;3;2} \right)\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\). Gọi \(C\) là điểm nằm trên trục \(Oz\) sao cho \(BC\) và \(AH\) là hai đường thẳng cắt nhau. Xác định tọa độ điểm \(C\).

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {4;5;6} \right);B\left( {1;3;2} \right)\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\). Gọi \(C\) là điểm nằm trên trục \(Oz\) sao cho \(BC\) và \(AH\) là hai đường thẳng cắt nhau. Xác định tọa độ điểm \(C\).

A. \(C\left( {0;0;2} \right)\).
B. \(C\left( {0;0; – \frac{2}{3}} \right)\).
C. \(C\left( {0;0;4} \right)\).
D. \(C\left( {0;0; – 4} \right)\)

Lời giải

Vì \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) nên \(H\left( {0;5;6} \right)\).

Gọi \(C\left( {0;0;c} \right)\) là một điểm nằm trên trục \(Oz\) và \(D\) là giao điểm của \(BC\) và \(AH\).

Khi đó \(A,D,H\) nên \(\overrightarrow {AD} = k\overrightarrow {HA} = \left( {4k;0;0} \right)\) suy ra tọa độ điểm \(D\left( {4k + 4;5;6} \right)\).

Lại có \(B,D,C\)thẳng hàng nên \(\overrightarrow {BD} = l\overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4k + 4 – 1 = l.\left( {0 – 1} \right)\\5 – 3 = l\left( {0 – 3} \right)\\6 – 2 = l\left( {c – 2} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = – \frac{7}{{12}}\\l = – \frac{2}{3}\\c = – 4\end{array} \right.\)

Vậy \(C\left( {0;0; – 4} \right)\).