Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{v}=\left(-1;-2;-4\right),\vec{u}=\left(-5;4m-2;-n-3\right)$. Tính $m+n$ để $\vec{u},\vec{v}$ cùng phương

Bài toán gốc

Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{v}=\left(-1;-2;-4\right),\vec{u}=\left(-5;4m-2;-n-3\right)$. Tính $m+n$ để $\vec{u},\vec{v}$ cùng phương
A. $13$ B. $12$ C. $15$ D. $16$

Phân tích và Phương pháp giải

Dạng bài toán: Xác định tham số để hai vector trong không gian Oxyz cùng phương. Phương pháp giải: Hai vector

$\vec{u}$

và

$\vec{v}$

cùng phương khi và chỉ khi tồn tại một số thực

$k
e 0$

sao cho

$\vec{u} = k

\vec{v}$

. Ta thiết lập hệ phương trình từ các thành phần tọa độ để tìm hệ số

$k$

, sau đó dùng

$k$

để giải các phương trình chứa tham số.

Bài toán tương tự

1. Bài toán 1 (Dạng Trắc nghiệm)<
strong> Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{a}=\left(3; -1; 2\right)$ và $\vec{b}=\left(6; 2m+1; -4\right)$. Tính giá trị của $m$ để hai vector $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương.
A. $-1$ B. $-1/2$ C. $-3/2$ D. $1$.
Đáp án đúng: C.
Giải thích: Hai vector cùng phương khi $\vec{b} = k\vec{a}$. Từ thành phần thứ nhất: $6 = k \cdot 3 \implies k = 2$. Thành phần thứ hai: $2m+1 = k(-1) = 2(-1) = -2$. $2m = -3 \implies m = -3/2$.

2. Bài toán 2 (Dạng Tự luận)<
strong> Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{x}=\left(4; 2; -6\right)$ và $\vec{y}=\left(m; 1; 3n\right)$. Tìm giá trị của $m$ và $n$ để hai vector $\vec{x}$ và $\vec{y}$ cùng phương.
Đáp án: $m=2, n=-1$.
Lời giải ngắn gọn: Hai vector cùng phương, ta có $\vec{y} = k\vec{x}$. Từ thành phần thứ hai: $1 = k \cdot 2 \implies k = 1/2$. Ta có $m = k \cdot 4 = (1/2) \cdot 4 = 2$. Và $3n = k \cdot (-6) = (1/2) \cdot (-6) = -3 \implies n = -1$.

3. Bài toán 3 (Dạng Trắc nghiệm)<
strong> Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{u}=\left(2; 4; 6\right)$ và $\vec{v}=\left(m; 2; n\right)$. Tính giá trị của $m+n$ để $\vec{u}$ và $\vec{v}$ cùng phương.
A. $4$ B. $2$ C. $1$ D. $3$.
Đáp án đúng: A.
Giải thích: Hai vector cùng phương khi $\vec{v} = k\vec{u}$. Từ thành phần thứ hai: $2 = k \cdot 4 \implies k = 1/2$. Ta có $m = k \cdot 2 = (1/2) \cdot 2 = 1$. Và $n = k \cdot 6 = (1/2) \cdot 6 = 3$. Vậy $m+n = 1 + 3 = 4$.

4. Bài toán 4 (Dạng Tự luận – Ứng dụng thẳng hàng)<
strong> Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1, 0, 2)$, $B(3, 2, m)$, và $C(5, 4, -4)$. Tìm giá trị của $m$ để ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng.
Đáp án: $m=-1$.
Lời giải ngắn gọn: Ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng khi và chỉ khi $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ cùng phương. $\vec{AB} = (2, 2, m-2)$. $\vec{AC} = (4, 4, -6)$. Ta thấy $\vec{AC} = 2\vec{AB}$, nên hệ số $k=2$. Thành phần thứ ba: $-6 = 2(m-2) \implies -3 = m-2 \implies m = -1$.

5. Bài toán 5 (Dạng Trắc nghiệm – Tính biểu thức tham số)<
strong> Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{a}=\left(m-1; 3; n+2\right)$ và $\vec{b}=\left(4; 6; -2\right)$. Tìm giá trị của $m-n$ để hai vector $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương.
A. $5$ B. $6$ C. $7$ D. $8$.
Đáp án đúng: B.
Giải thích: Hai vector cùng phương khi $\vec{b} = k\vec{a}$. Từ thành phần thứ hai: $6 = k \cdot 3 \implies k = 2$. Do đó, $\vec{a} = (1/2)\vec{b}$. Ta có: $m-1 = (1/2) \cdot 4 = 2 \implies m = 3$. Và $n+2 = (1/2) \cdot (-2) = -1 \implies n = -3$. Giá trị cần tìm là $m-n = 3 – (-3) = 6$.