Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{v}=\left(4;-4;4\right),\vec{u}=\left(0;-3m;2m+5\right)$. Tính $m$ để $\vec{u},\vec{v}$ vuông góc

Bài toán gốc

Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{v}=\left(4;-4;4\right),\vec{u}=\left(0;-3m;2m+5\right)$. Tính $m$ để $\vec{u},\vec{v}$ vuông góc
A. $-4$ B. $-3$ C. $1$ D. $-1$

Phân tích và Phương pháp giải

Dạng toán tìm tham số $m$ để hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ vuông góc trong không gian $Oxyz$. Phương pháp giải là sử dụng điều kiện vuông góc: hai vectơ vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng không, tức là $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. Ta thiết lập phương trình bậc nhất theo $m$ từ công thức tích vô hướng: $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v = 0$.

Bài toán tương tự

**1. Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{a}=\left(1; 2; -1\right)$ và $\vec{b}=\left(m; 3; 2m+1\right)$. Giá trị của $m$ để $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc với nhau là:
A. $5$ B. $-5$ C. $1$ D. $2$
Đáp án đúng: A. $5$
Giải thích: Hai vectơ vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng $0$. Ta có $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1(m) + 2(3) + (-1)(2m+1) = 0$. Suy ra $m + 6 – 2m – 1 = 0 \Leftrightarrow 5 – m = 0 \Leftrightarrow m = 5$.

**2. Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{p}=\left(2m; -1; 3\right)$ và $\vec{q}=\left(1; 5; m\right)$. Tìm giá trị của $m$ để $\vec{p}$ vuông góc với $\vec{q}$.
A. $1$ B. $2$ C. $-1$ D. $5$
Đáp án đúng: A. $1$
Giải thích: Điều kiện vuông góc là $\vec{p} \cdot \vec{q} = 0$. Ta có $2m(1) + (-1)(5) + 3(m) = 0 \Leftrightarrow 2m – 5 + 3m = 0 \Leftrightarrow 5m = 5 \Leftrightarrow m = 1$.

**3. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1; 1; 1)$, $B(3; 0; -1)$, và $C(1; m; 2)$. Tìm giá trị của tham số $m$ để $\vec{AB}$ vuông góc với $\vec{AC}$.
A. $0$ B. $-1$ C. $1$ D. $2$
Đáp án đúng: B. $-1$
Giải thích: Ta tính tọa độ các vectơ: $\vec{AB} = (3-1; 0-1; -1-1) = (2; -1; -2)$ và $\vec{AC} = (1-1; m-1; 2-1) = (0; m-1; 1)$. Điều kiện vuông góc: $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$. Ta có $2(0) + (-1)(m-1) + (-2)(1) = 0 \Leftrightarrow 0 – m + 1 – 2 = 0 \Leftrightarrow -m – 1 = 0 \Leftrightarrow m = -1$.

**4. Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u}=(m-1; 2; 3)$ và $\vec{w}=(1; 2m; -3)$. Tính giá trị của $m$ để $\vec{u}$ và $\vec{w}$ vuông góc với nhau.
Đáp án: $m = 2$
Lời giải ngắn gọn: Hai vectơ vuông góc khi tích vô hướng bằng 0. $\vec{u} \cdot \vec{w} = (m-1)(1) + 2(2m) + 3(-3) = 0$. Ta có $m – 1 + 4m – 9 = 0 \Leftrightarrow 5m – 10 = 0 \Leftrightarrow m = 2$.

**5. Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{a}=\left(m+1; 2; -m\right)$ và $\vec{b}=\left(3; -1; 4\right)$. Giá trị của $m$ để hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc là:
A. $1$ B. $3$ C. $-1$ D. $0$
Đáp án đúng: A. $1$
Giải thích: Điều kiện $\vec{a} \perp \vec{b}$ là $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Ta có $3(m+1) + (-1)(2) + 4(-m) = 0 \Leftrightarrow 3m + 3 – 2 – 4m = 0 \Leftrightarrow 1 – m = 0 \Leftrightarrow m = 1$.