Bài toán gốc
Trong không gian $Oxyz$, cho $A\left(3;0;-4\right),B\left(-4;8;-2\right),G\left(1;-3;-1\right)$. Tìm tọa độ điểm $C$ biết G là trọng tâm của $\Delta ABC$
A. $C\left(0;-9;1\right)$ B. $C\left(7;-17;-1\right)$ C. $C\left(4;-17;3\right)$ D. $C\left(-1;8;-6\right)$
Phân tích và Phương pháp giải
Dạng toán tìm tọa độ đỉnh còn lại của tam giác $ABC$ khi biết tọa độ hai đỉnh kia và tọa độ trọng tâm $G$. Phương pháp giải là sử dụng công thức tọa độ trọng tâm $G(x_G, y_G, z_G)$ của $\Delta ABC$: $x_G = \frac{x_A+x_B+x_C}{3}, y_G = \frac{y_A+y_B+y_C}{3}, z_G = \frac{z_A+z_B+z_C}{3}$. Từ công thức này, ta suy ra tọa độ đỉnh cần tìm (ví dụ $C$): $C = 3G – A – B$.
Bài toán tương tự
**1.** Trong không gian $Oxyz$, cho $\Delta ABC$ có $A\left(1;2;3\right), B\left(0;1;5\right)$, và trọng tâm $G\left(2;0;1\right)$. Tọa độ điểm $C$ là:
A. $C\left(3;2;-5\right)$ B. $C\left(5;-3;-5\right)$ C. $C\left(2;-1;1\right)$ D. $C\left(5;3;1\right)$
Đáp án đúng: B. Tọa độ $C(x_C, y_C, z_C)$ được tính theo công thức $x_C = 3x_G – x_A – x_B$. Ta có:
$x_C = 3(2) – 1 – 0 = 5$
$y_C = 3(0) – 2 – 1 = -3$
$z_C = 3(1) – 3 – 5 = -5$. Vậy $C\left(5;-3;-5\right)$.
**2.** Trong không gian $Oxyz$, cho $A\left(-1;0;2\right), C\left(3;4;0\right)$, và trọng tâm $G\left(0;1;1\right)$. Tìm tọa độ điểm $B$.
A. $B\left(-2;-1;1\right)$ B. $B\left(4;-3;1\right)$ C. $B\left(1;3;1\right)$ D. $B\left(-2;1;1\right)$
Đáp án đúng: A. Tọa độ $B(x_B, y_B, z_B)$ được tính theo $B = 3G – A – C$. Ta có:
$x_B = 3(0) – (-1) – 3 = 1 – 3 = -2$
$y_B = 3(1) – 0 – 4 = 3 – 4 = -1$
$z_B = 3(1) – 2 – 0 = 1$. Vậy $B\left(-2;-1;1\right)$.
**3.** Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left(5;-2;1\right), B\left(-1;4;3\right), C\left(2;1;-1\right)$. Tọa độ trọng tâm $G$ của $\Delta ABC$ là:
A. $G\left(6;3;3\right)$ B. $G\left(2;1;1\right)$ C. $G\left(6;3;1\right)$ D. $G\left(3;1;1\right)$
Đáp án đúng: B. Áp dụng công thức trọng tâm $x_G = \frac{x_A+x_B+x_C}{3}$. Ta có:
$x_G = \frac{5+(-1)+2}{3} = 2$
$y_G = \frac{-2+4+1}{3} = 1$
$z_G = \frac{1+3+(-1)}{3} = 1$. Vậy $G\left(2;1;1\right)$.
**4.** Trong không gian $Oxyz$, cho $A\left(2;5;0
ight), B\left(-3;1;-6
ight)$. Nếu $G$ là gốc tọa độ $O\left(0;0;0\right)$ là trọng tâm của $\Delta ABC$, hãy tìm tọa độ điểm $C$.
Đáp án: $C\left(1;-6;6\right)$.
Lời giải ngắn gọn: Vì $G$ là gốc tọa độ, $G(0;0;0)$. Tọa độ điểm $C$ là $C = 3G – A – B = -A – B$.
$C = -(2;5;0) – (-3;1;-6) = (1; -6; 6)$.
**5.** Trong không gian $Oxyz$, cho $B\left(4;1;-1\right), C\left(2;-3;5\right)$, và trọng tâm $G\left(3;1;2\right)$. Tìm tọa độ điểm $A$.
A. $A\left(3;5;2\right)$ B. $A\left(15;1;-4\right)$ C. $A\left(4;5;2\right)$ D. $A\left(3;-1;1\right)$
Đáp án đúng: A. Tọa độ $A(x_A, y_A, z_A)$ được tính theo $A = 3G – B – C$. Ta có:
$x_A = 3(3) – 4 – 2 = 3$
$y_A = 3(1) – 1 – (-3) = 5$
$z_A = 3(2) – (-1) – 5 = 2$. Vậy $A\left(3;5;2\right)$.