Bộ ba điểm nào sau đây thẳng hàng?
A. $A\left(3;-3;2\right),B\left(7;8;3\right),C\left(2;7;-4\right)$

Bài toán gốc

Bộ ba điểm nào sau đây thẳng hàng?
A. $A\left(3;-3;2\right),B\left(7;8;3\right),C\left(2;7;-4\right)$ B. $A\left(-4;-2;1\right),B\left(-3;-3;-3\right),C\left(3;6;-1\right)$ C. $A\left(0;1;2\right),B\left(1;-4;4\right),C\left(3;-1;3\right)$ D. $A\left(-5;1;8\right),B\left(-4;-4;-2\right),C\left(-7;11;28\right)$

Phân tích và Phương pháp giải

Dạng bài toán yêu cầu xác định bộ ba điểm A, B, C thẳng hàng trong không gian Oxyz. Phương pháp giải là kiểm tra tính cùng phương của hai vectơ được tạo bởi ba điểm đó, ví dụ: $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$. Nếu tồn tại số thực k sao cho $\vec{AC} = k\vec{AB}$, thì ba điểm A, B, C thẳng hàng. Điều kiện tương đương là các thành phần tọa độ của hai vectơ phải tỉ lệ với nhau.

Bài toán tương tự

Bộ ba điểm nào sau đây thẳng hàng?

1.
A. $A(2; 1; -3), B(1; 0; -1), C(3; 2; -4)$
B. $A(1; 2; 3), B(3; 1; 0), C(5; 0; -3)$
C. $A(0; 1; 1), B(2; 5; 3), C(1; 4; 2)$
D. $A(-1; 1; 2), B(0; 2; 3), C(1; 3; 3)$
Đáp án đúng: B
Giải thích: Ta xét cặp điểm ở đáp án B: $A(1; 2; 3), B(3; 1; 0), C(5; 0; -3)$. Ta có $\vec{AB} = (3-1; 1-2; 0-3) = (2; -1; -3)$. Ta có $\vec{AC} = (5-1; 0-2; -3-3) = (4; -2; -6)$. Vì $\vec{AC} = 2\vec{AB}$, nên $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ cùng phương. Vậy A, B, C thẳng hàng.

2. Bộ ba điểm nào sau đây thẳng hàng?
A. $P(2; -1; 4), Q(1; 0; 3), R(0; 1; 1)$
B. $P(-1; 0; 2), Q(1; 4; 6), R(2; 6; 10)$
C. $P(0; 1; -1), Q(2; 0; 3), R(3; -1; 7)$
D. $P(3; 2; 1), Q(1; 4; 5), R(0; 5; 7)$
Đáp án đúng: D
Giải thích: Ta xét cặp điểm ở đáp án D: $P(3; 2; 1), Q(1; 4; 5), R(0; 5; 7)$. Ta có $\vec{PQ} = (1-3; 4-2; 5-1) = (-2; 2; 4)$. Ta có $\vec{PR} = (0-3; 5-2; 7-1) = (-3; 3; 6)$. Ta thấy $(-3)/(-2) = 3/2$ và $3/2 = 3/2$ và $6/4 = 3/2$. Do $\vec{PR} = \frac{3}{2}\vec{PQ}$, nên P, Q, R thẳng hàng.

3. Cho ba điểm $A(4; 5; 1), B(0; 1; 3)$. Điểm C nào sau đây cùng nằm trên đường thẳng AB?
A. $C(-3; -2; 4)$
B. $C(-1; 0; 4)$
C. $C(-2; -1; 4)$
D. $C(-4; -3; 5)$
Đáp án đúng: C
Giải thích: Ta có $\vec{AB} = (0-4; 1-5; 3-1) = (-4; -4; 2)$. Xét đáp án C, $C(-2; -1; 4)$. Ta có $\vec{AC} = (-2-4; -1-5; 4-1) = (-6; -6; 3)$. Ta thấy $\vec{AC} = \frac{3}{2}\vec{AB}$ (vì $-6/(-4) = 3/2, -6/(-4) = 3/2, 3/2 = 3/2$). Vậy A, B, C thẳng hàng.

4. Trong không gian Oxyz, ba điểm $M(1; 1; 1), N(-1; 5; 9), P(0; 3; 5)$ có mối quan hệ nào sau đây?
A. M, N, P tạo thành tam giác vuông.
B. M, N, P không thẳng hàng.
C. M, N, P tạo thành tam giác cân.
D. M, N, P thẳng hàng.
Đáp án đúng: D
Giải thích: Ta tính $\vec{MN} = (-1-1; 5-1; 9-1) = (-2; 4; 8)$. Ta tính $\vec{MP} = (0-1; 3-1; 5-1) = (-1; 2; 4)$. Ta thấy $\vec{MN} = 2\vec{MP}$. Suy ra, hai vectơ này cùng phương, do đó ba điểm M, N, P thẳng hàng.

5. Tự luận: Tìm giá trị của tham số m để ba điểm $A(1; 2; 3), B(2; m+1; 5), C(3; 3; 7)$ thẳng hàng.
Đáp án: $m=1$
Lời giải ngắn gọn: Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ cùng phương. Ta có $\vec{AB} = (2-1; m+1-2; 5-3) = (1; m-1; 2)$. Ta có $\vec{AC} = (3-1; 3-2; 7-3) = (2; 1; 4)$. Để $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ cùng phương, ta phải có tỉ lệ tọa độ bằng nhau: $\frac{1}{2} = \frac{m-1}{1} = \frac{2}{4}$. Từ $\frac{1}{2} = \frac{m-1}{1}$, ta suy ra $m-1 = \frac{1}{2}$, vậy $m = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$. (Kiểm tra lại đề bài và tính toán: A(1, 2, 3), C(3, 3, 7). $\vec{AC}=(2, 1, 4)$. $\vec{AB}=(1, m-1, 2)$. Tỉ lệ là 2. $2(m-1)=1$, $2m-2=1$, $2m=3$, $m=3/2$). *Correction: Let’s use simpler numbers to yield integer result for the answer key.* A(1, 2, 3), B(2, m+1, 5), C(3, 4, 7). $\vec{AC}=(2, 2, 4)$. $\vec{AB}=(1, m-1, 2)$. Tỉ lệ là 2. $2(m-1)=2$, $m-1=1$, $m=2$. Let’s stick with the coordinates given in the problem statement for C(3; 3; 7): $\vec{AC}=(2, 1, 4)$. $\vec{AB}=(1, m-1, 2)$. $k = \frac{2}{1} = 2$. $k \cdot \vec{AB} = (2, 2(m-1), 4)$. So $2(m-1) = 1$. $m=3/2$. If the desired answer is integer, I must change C. Let C(3, 4, 7). $\vec{AC}=(2, 2, 4)$. $k=\frac{2}{1}=2$. $2(m-1)=2$. $m=2$. I will use C(3, 4, 7) for simplicity.
Tự luận (Version 2): Tìm giá trị của tham số m để ba điểm $A(1; 2; 3), B(2; m+1; 5), C(3; 4; 7)$ thẳng hàng.
Đáp án: $m=2$. Lời giải ngắn gọn: $\vec{AB} = (1; m-1; 2)$, $\vec{AC} = (2; 2; 4)$. Để A, B, C thẳng hàng thì $\vec{AC} = k\vec{AB}$. Ta thấy $k = \frac{4}{2} = 2$. Do đó $2(m-1) = 2$, suy ra $m-1 = 1$, vậy $m=2$.