Trong không gian $Oxyz$, cho $A\left(-5;8;0\right),B\left(3;-1;2\right)$. Tính $|\overrightarrow{AB}|$

Bài toán gốc

Trong không gian $Oxyz$, cho $A\left(-5;8;0\right),B\left(3;-1;2\right)$. Tính $|\overrightarrow{AB}|$
A. $2\sqrt{37}$ B. $\sqrt{149}$ C. $\sqrt{151}$ D. $2\sqrt{38}$

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng bài toán cơ bản về tọa độ trong không gian Oxyz, yêu cầu tính độ dài (độ lớn) của vectơ nối hai điểm A và B, hay còn gọi là khoảng cách giữa hai điểm A và B.
Phương pháp giải:
1. Xác định tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB} = (x_B – x_A; y_B – y_A; z_B – z_A)$.
2. Tính độ lớn của vectơ theo công thức: $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2 + (z_B – z_A)^2}$.

Bài toán tương tự

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(x_A; y_A; z_A)$ và $B(x_B; y_B; z_B)$. Tính độ dài đoạn thẳng AB (hay $|
ightharpoonup{AB}|$).

**1.** Trong không gian $Oxyz$, cho $C\left(1; 2; -3\right), D\left(4; 6; 9\right)$. Tính $|
ightharpoonup{CD}|$.
Đáp án: 13.
Lời giải ngắn gọn: $\overrightarrow{CD} = (4-1; 6-2; 9-(-3)) = (3; 4; 12)$. $|
ightharpoonup{CD}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

**2.** Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $P\left(-2; 0; 5\right)$ và $Q\left(0; -3; 1\right)$. Tính độ dài đoạn thẳng $PQ$.
Đáp án: $\sqrt{29}$.
Lời giải ngắn gọn: $PQ = |\overrightarrow{PQ}|$. $\overrightarrow{PQ} = (0-(-2); -3-0; 1-5) = (2; -3; -4)$. $PQ = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29}$.

**3.** Trong không gian $Oxyz$, cho $M\left(7; -1; 4\right), N\left(1; 7; 4\right)$. Giá trị của $|
ightharpoonup{MN}|$ là:
A. $2\sqrt{17}$ B. $10$ C. $12$ D. $\sqrt{78}$
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn: $\overrightarrow{MN} = (1-7; 7-(-1); 4-4) = (-6; 8; 0)$. $|\overrightarrow{MN}| = \sqrt{(-6)^2 + 8^2 + 0^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

**4.** Trong không gian $Oxyz$, tính khoảng cách giữa hai điểm $E\left(1; -2; 3\right)$ và $F\left(5; 0; 7\right)$.
A. $6$ B. $4\sqrt{2}$ C. $3\sqrt{5}$ D. $7$
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: $EF = \sqrt{(5-1)^2 + (0-(-2))^2 + (7-3)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$.

**5.** Trong không gian $Oxyz$, cho $R\left(4; 5; -1\right)$ và $S\left(1; 2; 1\right)$. Tính $|
ightharpoonup{SR}|$.
A. $\sqrt{22}$ B. $2\sqrt{6}$ C. $5$ D. $\sqrt{20}$
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: $\overrightarrow{SR} = (4-1; 5-2; -1-1) = (3; 3; -2)$. $|\overrightarrow{SR}| = \sqrt{3^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 9 + 4} = \sqrt{22}$.